函数、极限和连续(I)

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1、(二)极限一、数列极限二、函数的极限的概念三、函数的极限的的性质四、极限的运算法则五、复合函数的极限六、两个重要极限1（二）极限1．知识范围（1）数列极限的概念数列数列极限的定义（2）数列极限的性质唯一性有界性四则运算法则夹逼定理单调有界数列极限存在定理（3）函数极限的概念函数在一点处极限的定义左、右极限及其与极限的关系趋于无穷时函数的极限函数极限的几何意义（4）函数极限的性质唯一性四则运算法则夹通定理（5）无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量的定义无穷小量与无穷大量的关系无穷小量的性质无穷小量的阶的比较（6）两个重要极限22．要求（1）理解极限的概念（对极

2、限定义中“ε－N”、“ε－M”、“ε－δ”等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。（2）了解极限有关性质，掌握极限四则运算法则。（3）理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。（4）熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。3“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：——刘徽一、数列的极限1、概念的引入S=45截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”6例如

3、2、数列的定义7n=19n=32n=42n=508随着n的增加，1/n会越来越小。9几何解释:则称a为数列{Xn}的极限，称数列{Xn}收敛，否则数列{Xn}发散。101）.有界性3、收敛数列的性质2）唯一性定理每个收敛的数列只有一个极限.3）若数列{Xn}收敛则它的每个子列也收敛。数列{Xn}收敛则11发散数列判别法:1.无界数列必定发散.2.一子列发散,则数列发散.3.两子列收敛到不同的极限,则数列发散.例:证121）单调有界准则单调增加单调减少单调数列几何解释:4、数列收敛判别准则13例1：设(n=1,2,…)，证由及知设对某正整数k有则有故由归纳法，

4、对一切正整数n，都有即为单调减少数列，且试证数列极限存在，并求此极限。解得所以14例2证(舍去)152）夹逼准则16例1解由夹逼定理17例3：求解：由夹挤定理18例题19二、函数的极限1、自变量趋向无穷大时函数的极限202122另两种情形:描述性定义：23几何解释:24例1证25几何解释:描述性定义：2、自变量趋向有限值时函数的极限26例证函数在点x=1处没有定义.273.单侧极限:例如,左极限右极限28左右极限存在但不相等,例证29三、函数极限的性质1.有界性2.唯一性30定理(保号性)推论31小结函数极限的统一定义32四、函数极限运算法则定理若均存在，则

5、1)2)（k为常数）3)当时，33例1解34解例235解例3(消去零因子法)36解：原式例5（02四1）求解:原式例4:求37例6（a0≠0，b0≠0，m,n>0).解：1）m=n,原式2）m>n,原式3）m

6、式4849(2)50例(0406)解例(9602)解51例例52例53例4解例5解54例7求解：原式例6求解：原式55六、复合函数极限运算法则定理设函数y=f(u)及u=(x)构成复合函数y=f[(x)],在x0某个去心邻域,若且(x)l,则复合函数y=f[(x)]在xx0时的极限为56说明:又称变量代换法1.2.幂指函数的极限运算证明:5758例859注意1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数.七、无穷小1.定义:极限为零的变量称为无穷小.602.无穷小与函数极限的关系:证必要性充分性61定理3有界函数与无穷小的

7、乘积是无穷小.定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小62特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.63不是无穷大．无界，64定理4在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.65解例66在下列变量中是无穷大量的是（）C67填空:68证：这说明在上无界而取又当而这说

8、明不是无穷大量例但当时证明函数在上无界，这函数也不是