高等代数实践课不变子空间

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1、高等代数实践课系别:数学与计算机科学系班别:数应本082班姓名:蔡水月学号:0804401202引入:回忆:1.子空间:令w是数域F上向量空间的一个非空子集。如果W对于V的加法以及标量与向量的乘法都封闭,那么称W是V的一个子空间。*这一节课我们将学习不变子空间,大家想一下不变子空间与子空间有什么样的联系呢?下面我们比较着学习。不变子空间课程要求:1.了解不变子空间的定义2.哪些是不变子空间,举例说明3.“限制”以及它的应用4.不变子空间的求法5.不变子空间与一个线性变换的矩阵的关系定义V的一个子空间W说是在线性变换σ之下不变(

2、或稳定),如果σ(w)⊆w.简单的说,如果子空间在σ之下不变,那么w就叫做σ的一个不变子空间下面,我们来看一下不变子空间的例子例1:V本身和零空间{0}显然在任意线性变换之下不变。所以V本身和零空间{0}都是不变子空间。再看几个例子:例2:令σ是V的一个线性变换,那么σ的核Ker(σ)和像Im(σ)都在σ之下不变,所以σ的核Ker(σ)和像Im(σ)都是不变子空间。解析:事实上,对于任意ξ∈Ker(σ),都有σ(ξ)=0∈Ker(σ),所以Ker(σ)在σ之下不变。即:Ker(σ)={σ(ξ)=0}至于Im(σ)在σ之下不变,

3、是显然的。即:Im(σ)=σ(v)例3:V的任意子空间在任意位似变换之下不变解析:首先请大家回忆一下“位似”的概念位似:令V是数域F上一个向量空间。取定F的一个数k.对于任意ξ∊V,定义σ(ξ)=kξ.容易验证,σ是V到自身的一个线性映射。这样的一个线性映射叫做V的一个位似。位似变换:ξ↦kξ例4:令σ是V₃中以某一过原点的直线L为轴,旋转一个角ѳ的旋转。那么旋转轴L是σ的一个一维不变子空间,而过原点与L垂直的平面H是σ的一个二维不变子空间。例5:令f[x]是数域F上一切一元多项式所成的向量空间,σ:f(x)→f‘(x)是求导

4、数运算。对于每一自然数n,令Fn[x]表示一切次数不超过n的多项式连同零多项式所成的子空间。那么Fn[x]在σ之下不变。限制设w是线性变换σ的一个不变子空间。只考虑σ在w上的作用,就得到子空间w本身的一个线性变换,称σ在w上的限制,并且记作σ|w.这样,对于任意ξ∈W,σ|w(ξ)=σ(ξ).然而,如果ξ∉W,那么σ|w(ξ)没有意义。现在我们来看一下:不变子空间和简化线性变换的矩阵的关系设V是数域F上的一个n维向量空间,σ是V的一个线性变换。假设σ有一个非平凡不变子空间W,那么取W的一个基α₁,α₂,…,αγ,再补充成为V的

5、一个基α₁,α₂…,αγ,αγ+₁,…,αn.由于W在σ之下不变,所以σ(α₁),σ(α₂),…,σ(αγ)仍在W内,因而可以有W的基α₁,α₂,…,αγ线性表示.有:σ(α₁)=a₁₁α₁+a₂₁α₂+…+aγ₁αγ,……………………………………………………………σ(αγ)=a₁γα₁+a₂γα₂+…+aγγαγ,σ(αγ+₁)=a₁,γ+₁α₁+…+aγ,γ+₁αγ+aγ+1,γ+1αγ+1+…+an,γ+₁αnσ(αn)=a₁nα₁+…+aγnαγ+aγ+1,nαγ+1+…+annαn.因此,σ关于这个基的矩阵有形A=(

6、),这里有A1=()A1A3OA2a11...a1γ..........aγ1…aγγ是σ

7、w关于W的基α₁,α₂,…,αγ的矩阵,而A中左下方的O表示一个(n-r)*r零矩阵。即:若线性变换σ有一个非平凡不变子空间,那么只要适当取定V的基,就可以使与σ对应的矩阵中有一些元素是零.特别,如果V可以写成两个非平凡子空间W1与W2的直和:V=W1⊕W2,那么选取W1的一个基α₁,α₂,…,αγ,和W2的一个基αγ+₁,…,αn,凑成V的一个基α₁,α₂,…,αn.当W1和W2都在σ之下不变时,容易看出,σ关于这样取定的基的矩阵是A

8、=(),这里A1是r阶矩阵,它是σ

9、w1关于基α₁,α₂,…,αγ的矩阵,而A2是一个n-r阶矩阵,它是σ

10、w2关于基αγ+₁,…,αn的矩阵。A1OOA2例6:令σ是例4所给出的V3的线性变换,显然V3是一位子空间L与二维子空间H的直和,而L和H都在σ之下不变。取L的一个非零向量α₁,取H的两个彼此正交的单位长度向量α₂,α3,那么α₁,α₂,α3是V3的一个基,而σ关于这个基的矩阵是()1000cosѳ-sinѳ0Sinѳcosѳ一般地,如果向量空间V可以写成s个子空间W1,W2,...,WS的直和,并且每一个子空间都在线

11、性变换σ之下不变,那么在每一个空间中取一个基,凑成V的一个基,σ关于这个急的矩阵就有形状(),这里Ai是σ

12、wi关于所取的wi的基的矩阵。A10A1⋱0AS因此,给了n维向量空间V的一个线性变换,只要能够将V分解成一些在σ之下不变的子空间的直和,那么就可以适当的选取V的基,使

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