不变子空间(参考答案).pdf

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1、第2次讨论课答案{内容1.线性变换的定义与运算；2.线性变换的像与核；3.不变子空间.{教学要求1.准确运用线性变换的定义或等价的命题判断给定的映射是否是一个线性变换;2.掌握线性变换的运算;3.正确理解线性变换的像与核的概念及相互之间的联系，并能求出它们的基与维数；4.掌握验证一个子空间是某个线性变换的不变子空间的方法；5.会求某些线性空间上的线性变换的不变子空间.{练习题Exercise1判断下面所定义的映射哪些是线性变换，哪些不是？(1)在F3上，¾((x;x;x)T)=(x+x+x;x+x;x)T；123123231(2)在F3上，¾((x;x;x)T)=(x2;x¡x;0)T

2、；123123(3)在Fn[x]上，¾(f(x))=x¢f(x)；(4)在Mn(F)上，¾(X)=BXC，其中B;C2Mn(F)是两个确定的矩阵；(5)把复数域C看作C上的线性空间，¾(®)=¹®，®2C，®¹是®的共轭复数。解解解：：：(1)是。符合线性变换的定义。(2)否。因为x2+y26=(x+y)2。反例：¾((1;0;0)T+(1;0;0)T)=不满足线性性。¾((2;0;0)T)=(4;0;0)T而¾((1;0;0)T)+¾((1;0;0)T)=(2;0;0)T。(3)否。因为x¢f(x)2=Fn[x]。不满足封闭性。(4)是。符合线性变换的定义。(5)否。反例：i¢¾(i

3、)=1而¾(i¢i)=¡1。不满足数乘封闭性。Exercise2举例说明(1)¾;¿2L(V)，¾¿=0不一定推出¾=0或¿=0；(2)¾¿6=¿¾解解解：：：(1)令V=R2，设¾((x;x)T)=(x;0)T，¿((x;x)T)=(0;x)T，121122则¾6=0;¿6=0。但¾¿=0。1(2)令V=R2，设¾((x;x)T)=(x;0)T，¿((x;x)T)=(x;x+1211211x)T，则¾¿6=¿¾。2Exercise3在R[x]上，定义两个线性变换：¾(f(x))=f0(x);¿(f(x))=xf(x)证明：(1)¿¾¡¾¿="，"是单位变换；(2)(¿¾)2=¿2¾2

4、+¿¾。问：¾是不是R[x]上的幂零变换？是不是Rn[x]上的幂零变换？证证证明明明：：：(1)8f2R[x]¾¿(f(x))=¾(xf(x))=f(x)+xf0(x)¿¾(f(x))=¿(f0(x))=xf0(x)(¾¿¡¿¾)(f(x))=f(x)="(f(x))证毕。(2)(¿¾)2(f(x))=¿¾(xf0(x))=x(f0(x)+xf00(x))=xf0(x)+x2f00(x)¿2¾2(f(x))=¿(¿¾)¾(f(x))=¿(¿¾)(f0(x))=¿(xf00(x))=x2f00(x)(¿2¾2+¿¾)(f(x))=x2f00(x)+xf0(x)=(¿¾)2(f(x))证毕

5、。¾不是R[x]上的幂零变换。因为，对于任意n2N，总存在一个m>n，和f2R[x]，使得¾n(f(x))不是0。m¾是Rn[x]上的幂零变换。因为，存在m>n，使得对于8f2Rn[x]，有¾m(f(x))=0。Exercise4设¾是F上n维线性空间V上的线性变换，®1;®2;¢¢¢;®n是V的一个基，则：Im(¾)=L(¾(®1);¾(®2);¢¢¢;¾(®n))问：(1)¾(®1);¾(®2);¢¢¢;¾(®n)是不是Im(¾)的基？(2)¾(®1);¾(®2);¢¢¢;¾(®n)是Im(¾)的基的充分必要条件是什么？解解解：：：(1)不是。因为可能¾(®1);¾(®2);¢¢¢

6、;¾(®n)并不彼此线性无关。(2)¾(®1);¾(®2);¢¢¢;¾(®n)是Im(¾)的基的充分必要条件是¾可逆。证明如下：¾可逆()¾的矩阵表示A可逆()A的列线性无关(同构)()¾(®1);¾(®2);¢¢¢;¾(®n)线性无关()¾(®1);¾(®2);¢¢¢;¾(®n)为Im(¾)的基。½µ¶¯¾x11x12¯¯Exercise5设线性空间V=X=¯xij2R，定义x21x22µ¶µ¶1112¾(X)=X:11¡11(1)试证明¾是V的线性变换。2(2)求Im(¾)和ker(¾)的基和维数。证证证明明明：：：(1)易见V是到自身的线性映射，且由矩阵乘法和数乘的性质，可知对于

7、®;¯2V;¸2R;，有¾(®+¯)=¾(®)+¾(¯);¾(¸®)=¸¾(®)成立。(2)可知µ¶x11+x21¡x12¡x222x11+2x21+x12+x22¾(X)=x11+x21¡x12¡x222x11+2x21+x12+x22µ¶ab故可见Im(¾)中的元素有的形式，所以，可知Im(¾)的维数abµ¶µ¶1001为2，基为和。1001下面来求ker(¾)的维数和基。先令½x11+x21¡x12¡x22=02x11+2x21+x12+