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《算法案例--辗转相除法与更相减损术》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、算法案例第一课时辗转相除法与更相减损术思考1：小学学过的求两个数的最大公约数的方法？先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.例：求下面两个正整数的最大公约数：（1）求25和35的最大公约数（2）求49和63的最大公约数25（1）5535749（2）77639所以，25和35的最大公约数为5所以，49和63的最大公约数为7思考：除了用这种方法外还有没有其它方法？例：如何算出8251和6105的最大公约数？新课讲解：一、辗转相除法（欧几里得算法）1、定义：
2、所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。2、步骤（以求8251和6105的最大公约数的过程为例）第一步用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=6105×1+2146结论：8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。第二步对6105和2146重复第一步
3、的做法6105=2146×2+1813同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。为什么呢？完整的过程8251=6105×1+21466105=2146×2+18132146=1813×1+3331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4+0例：用辗转相除法求225和135的最大公约数225=135×1+90135=90×1+4590=45×2显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数显然45是90和45的最大公约数
4、，也就是225和135的最大公约数思考1：从上面的两个例子中可以看出计算的规律是什么？S1：用大数除以小数S2：除数变成被除数，余数变成除数S3：重复S1，直到余数为0辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0才停止的步骤，这实际上是一个循环结构。m=n×q＋r用程序框图表示出右边的过程r=mMODnm=nn=rr=0?是否思考2：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？8251=6105×1+21466105=2146×2+18132146=1813×1+3331813=333×5+148333=14
5、8×2+37148=37×4+0(1)、算法步骤：第一步：输入两个正整数m,n(m>n).第二步：计算m除以n所得的余数r.第三步：m=n,n=r.第四步：若r＝0,则m,n的最大公约数等于m；否则转到第二步.第五步：输出最大公约数m.思考3：你能把辗转相除法编成一个计算机程序吗？(2)、程序框图：开始输入m,nr=mMODnm=nr=0?是否n=r输出m结束(3)、程序：INPUT“m,n=”;m,nDOr=mMODnm=nn=rLOOPUNTILr=0PRINTmEND二、更相减损术可半者半之
6、，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。（1）、《九章算术》中的更相减损术：1、背景介绍：（2）、现代数学中的更相减损术：2、定义：所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用
7、较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数。例:用更相减损术求98与63的最大公约数.解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减98－63＝35 63－35＝28 35－28＝7 28－7＝2121－7＝1414－7＝7所以，98和63的最大公约数等于73、方法：1、用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数．练习：思路分析：先约简，再求21与18的最大公约数,然后乘以两次约简的质因数4。2、求324、243、135这三个
8、数的最大公约数。思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数即为所求。(1)、算法步骤第一步：输入两个正整数m,n(m>n);第二步：若m,n都是偶数,则不断用2约简,使它们不同时是偶数,约简后的了两个数仍记为m,n.第三步：d=m-n.第四步：判断d≠n是否成立.若是,则将n,d中较大者记为m,较小者记为n,返回第三步;否则,2＾k*d为所求的最大公约数.思考4：你能根据更相减损术设计程序，求两个正整数的最大公约数吗？IN
