案例1 辗转相除法与更相减损术

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1、1.3算法案例案例1辗转相除法与更相减损术35915[问题1]：在小学，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的最大公约数吗？〖创设情景，揭示课题〗183023∴18和30的最大公约数是2×3=6.先用两个数公有的质因数连续去除,一直除到所得的商是互质数为止,然后把所有的除数连乘起来.[问题2]:我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求8251与6105的最大公约数?〖研探新知〗1.辗转相除法:例1求两个正数8251和6105的最大公约数。分

2、析：8251与6105两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数.解：8251＝6105×1＋2146显然8251与6105的最大公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251的约数，所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数。〖研探新知〗1.辗转相除法:例1求两个正数8251和6105的最大公约数。解：8251＝6105×1＋2146;6105＝2146×2＋1813;2146＝1813×1＋333;1813＝333×5＋148;333＝148×2＋

3、37;148＝37×4＋0.则37为8251与6105的最大公约数。以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的。利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个商q0和一个余数r0；(m=n×q0+r0)第二步：若r0＝0，则n为m，n的最大公约数；若r0≠0，则用除数n除以余数r0得到一个商q1和一个余数r1；(n=r0×q1+r1)第三步：若r1＝0，则r0为m，n的最大公约数；若r1≠0，则用除数r0除以余数r1得到一个商q2和一个余数r2；(r0=r

4、1×q2+r2)……依次计算直至rn＝0，此时所得到的rn-1即为所求的最大公约数。第一步,给定两个正数m,n第二步，比较m,n的大小，较大的给m第三步,计算m除以n所得到余数r第四步,m=n,n=r第五步,若r=0,则m,n的最大公约数等于m;否则返回第三步辗转相除法求最大公约数算法：否4.辗转相除法的程序框图及程序:开始输入两个正数m,nm0m=nn=rr=mMODnWENDPRINTnENDx

5、=nn=m练习1：利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数.(53)20723=4081×5+318;4081=318×12+265;318=265×1+53;265=53×5+0.2.更相减损术:我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母·子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。翻译出来为：第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。

6、继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。例2用更相减损术求98与63的最大公约数.解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，即：98－63＝35;63－35＝28;35－28＝7;28－7＝21;21－7＝14;14－7＝7.所以，98与63的最大公约数是7。练习2：用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数。(12)第一步,给定两个正整数,不妨设m>n,第二步,若m,n都是偶数,则不断用2约简,使他们不同时是偶数,约简后的两个数仍记为m,n第三步,m=m-n第四步,判断”m=0”是否成立,若否,

7、则将n,m中较大者记为m,较小的记为n,返回第三步;若是,2^k*n(k是约简整数的2的个数)为所求的最大公约数.更相减损术算法开始输入m,nM,n为偶数?K=k+1M=m/2N=n/2m

8、以除法为主，更相减损术以减法为主;计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数