辗转相除法与更相减损术

《辗转相除法与更相减损术》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、欢迎光临算法案例（一）辗转相除法与更相减损术山东淄博五中孙天军〖学习目标〗1．通过算法的典型案例，经历设计算法解决问题的全过程，感受算法解决问题的重要作用；2．理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析,设计出这两种算法的程序框图并写出它们的算法程序；熟练运用这两种算法求最大公约数．3．进一步体会算法的基本思想，发展有条理地思考与解决问题的能力，提高逻辑思维能力．〖重点难点〗重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法．难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言．一.课前自学1．回顾算法的三种表述：自然语言,程序框图,程序语言.程

2、序框图有三种逻辑结构:顺序结构,条件结构,循环结构.程序语言有五种基本算法语句:输入语句,输出语句,赋值语句,条件语句,循环语句.2．回顾求两个数的最大公约数的法．先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.3.①求24与30的最大公约数．②求210与462的最大公约数．如何求8251和6105的最大公约数？所以，24和30的最大公约数为6210和462的最大公约数为4224（1）2123015435210（2）2105462231335757711板块二：新知探究1．问题提出：当两个数公有的质因数较大时，用原来的显然困难，须改进算法，用什么

3、方法好？2．点拨：辗转相除法是解决上述问题的有效方法之一，此算法是欧几里得在公元前300左右首先提出的，因而，又叫欧几里得算法．3．师生探究：例1．用辗转相除法求8251与6105的最大公约数．观察用辗转相除法求8251和6105的最大公约数的过程：第一步:用两数中较大的数除以较小的数求得商和余数8251=6105×1+2146结论：8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。第二步对6105和2146重复第一步的做法6105=2146×2+1813同理6105和2146的最大公约数也是214

4、6和1813的最大公约数。为什么呢？思考：从上述的过程你体会到了什么？若m是6105与2146的公约数，则8251必能被m整除。探究1。用辗转相除法求225和135的最大公约数完整的过程8251=6105×1+21466105=2146×2+18132146=1813×1+3331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4+0显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数探究2：辗转相除法的解题步骤如何？其蕴含的数学原理是什么？225=135×1+90135=90×1+

5、4590=45×2辗转相除法算法步骤：第一步：输入两个正整数a、b(a>b);第二步：求a除以b的余数r；第三步：若r≠0，则把b的值赋于a，r的值赋于b，转到第二步；否则转到第四步；第四步：输出最大公约数b数学原理是：在展转相除的过程中的b与r的公约数始终和a与b的公约数相等，且相除的步骤是有限的。程序框图：程序：开始是结束输入a，br=amodba＝bb＝rr＝0输出a否INPUT“a，b”；a，bDOr=amodba=bb=rLOOPUNTILr=0PRINTaEND4．问题提出：除了用上述算法求两个数的最大公约数之外还有没有别的算法？5．点拨：用“更相减损术”：更相减损术，是

6、我国数学家刘徽的专著《九章算术》中记载的．更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母分子之数，以少减多，更相减损，求其等也.，以等数约之．翻译出来为：第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步．第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数．6．师生再探：例2．用更相减损术求91与49的最大公约数，并用辗转相除法检验结果．解法1：（更相减损术）由于49不是偶数，把91和49以大数减小数，并辗转相减，即：91－49＝424

7、9－42＝742－7＝3535－7＝2828－7＝2121－7＝1414－7＝7∴91与49的最大公约数是7。解法2（辗转相除法）91＝49×1＋4249＝42×1＋742＝7×6∴91与49的最大公约数是7。探究3:怎样用更相减损术求182与98的最大公约数?方法：由于182与98都是偶数，故将它们同除以2，得91与49，再用上面的方法求得91与49的最大公约数为7，则7×2=14为182与98的最大公约数.探究4:用更相减损术求80与36的最大公约数，