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1、算法案例案例1辗转相除法与更相减损术学习目标1.通过辗转相除法与更相减损术的学习,进一步体会算法思想．2.通过古代著名的算法,理解掌握辗转相除法与更相减损术算法的含义;了解其计算过程;了解其算法程序框图和程序．1.回顾算法的三种表述：自然语言程序框图程序语言（三种逻辑结构）（五种基本语句）2.思考：小学学过的求两个数最大公约数的方法？先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互为质数为止，然后把所有的除数连乘起来.复习25（1）55357所以，25和35的最大公约数为549（2）77639
2、所以，49和63的最大公约数为72、除了用这种方法外还有没有其它方法？算出8251和6105的最大公约数.1、求两个正整数的最大公约数（1）求25和35的最大公约数（2）求49和63的最大公约数1、辗转相除法（欧几里得算法）所谓辗转相除法,就是对于给定的两个数,用较大的数除以较小的数.若余数不为零,则将余数和较小的数构成新的一对数,继续上面的除法,直到大数被小数除尽,则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数.例1.用辗转相除法求98与63的最大公约数.98=1×63＋3563=1×35＋2835
3、=1×28＋728=4×7＋0所以，98与63的最大公约数为7新课辗转相除法的原理：如果q和r是m除以n的商及余数,即m=nq+r,则gcd(m,n)=gcd(n,r).证明:设a=gcd(m,n),b=gcd(n,r)则有a
4、m及a
5、n,因此a
6、(m-nq),即a
7、r及a
8、n,所以a
9、b又b
10、r及b
11、n,所以b
12、(nq+r),即b
13、m及b
14、n,所以b
15、a因为a
16、b并且b
17、a,所以a=b,即gcd(m,n)=gcd(n,r).如计算gcd(546,429)546=1×429+117,429=3×
18、117+78,117=1×78+39,78=2×39．8251=6105×1+21466105=2146×2+18132146=1813×1+3331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4所以37是8251和6105的最大公约数求8251和6105的最大公约数.P45)练习1(1)用辗转相除法求225和135的最大公约数225=135×1+90135=90×1+4590=45×2所以45是225和135的最大公约数思考：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？S1：
19、用大数除以小数S2：除数变成被除数，余数变成除数S3：重复S1，直到余数为0辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤,这实际上是一个循环结构．m=n×q＋r思考：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？算法步骤第一步：输入两个正整数m,n(m>n).第二步：计算m除以n所得的余数r.第三步：m=n,n=r.第四步：若r＝0,则m,n的最大公约数等于m;否则转到第二步.第五步：输出最大公约数m.程序框图程序r=mMODnm=n是否n=r开始输入m,nr=0?输出m结束直到型循环结构INPUT
20、“m,n=“;m,nDOLOOPUNTILr=mMODnm=nn=rr=0PRINTmEND程序框图程序当型循环结构INPUT“m,n=“;m,nWHILEWENDr=mMODnm=nn=rr>0PRINTmENDr=1求m除以n的余数rm=n是否n=r开始输入m,nr>0?输出m结束r=12、更相减损术算理：所谓更相减损术,就是对于给定的两个数,用较大的数减去较小的数,然后将差和较小的数构成新的一对数,再用较大的数减去较小的数,反复执行此步骤直到差数和较小的数相等,此时相等的两数便为原来两个数
21、的最大公约数.第一步：任意给定两个正整数;判断他们是否都是偶数.若是,则用2约简;若不是则执行第二步.第二步：以较大的数减较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减小数.继续这个操作,直到所得的减数和差相等为止,则这个等数就是所求的最大公约数.算理：可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之.例3用更相减损术求98与63的最大公约数解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减98－63＝35 63－35＝28 35－28＝7 28－7＝
22、2121－7＝2114－7＝7所以，98和63的最大公约数等于798=63×1＋3563=35×1＋2835=28×1＋7辗转相除法与更相减损术的区别(1)都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为主,计算次数上辗转相除法计算次数相对较少,特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显.(2)从结果体现形式来看,辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到,而更相减损术则以减数与差相等而得到用更相减损术求两个整数m，n的最大公约数INPUT“m,n=”;m,nWHILE
