1.3.1《算法案例-辗转相除法与更相减损术》

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1、新课标人教版课件系列《高中数学》必修３1.3.1《算法案例-辗转相除法与更相减损术》教学目标1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析；2.能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序.教学重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法教学难点：转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。案例1辗转相除法与更相减损术（一）、自主预习1.回顾算法的三种表述：自然语言程序框图程序语言（三种逻辑结构）（五种基本语句）顺序结构、条件结构、循环结构输入语句、输出语句、赋值语

2、句、条件语句、循环语句教学设计通过对以前所学的知识的回顾，为本节内容的学习打下基础。2.思考：小学学过的求两个数最大公约数的方法？先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.1、求两个正整数的最大公约数（1）求25和35的最大公约数（2）求49和63的最大公约数25（1）5535749（2）77639所以，25和35的最大公约数为5所以，49和63的最大公约数为72、除了用这种方法外还有没有其它方法？算出8256和6105的最大公约数.辗转相除法（欧几里得算法）观察用辗转相除法求8251和

3、6105的最大公约数的过程第一步用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=6105×1+2146结论：8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。第二步对6105和2146重复第一步的做法6105=2146×2+1813同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。为什么呢？思考：从上述的过程你体会到了什么？完整的过程8251=6105×1+21466105=2146×2+18132146=1813×1+3

4、331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4+0例2用辗转相除法求225和135的最大公约数225=135×1+90135=90×1+4590=45×2显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数思考1：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？S1：用大数除以小数S2：除数变成被除数，余数变成除数S3：重复S1，直到余数为0辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。8251=6

5、105×1+21466105=2146×2+18132146=1813×1+3331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4+0m=n×q＋r用程序框图表示出右边的过程r=mMODnm=nn=rr=0?是否思考2：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？1、辗转相除法（欧几里得算法）（1）算理：所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。（2）算法步骤第一步：输入两

6、个正整数m,n(m>n).第二步：计算m除以n所得的余数r.第三步：m=n,n=r.第四步：若r＝0,则m,n的最大公约数等于m；否则转到第二步.第五步：输出最大公约数m.（3）程序框图（4）程序INPUT“m,n=“;m,nDOr=mMODnm=nn=rLOOPUNTILr=0PRINTmEND开始输入m,nr=mMODnm=nr=0?是否n=r输出m结束《九章算术》——更相减损术算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2

7、约简；若不是则执行第二步。第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。2、更相减损术（1）算理：所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数。（2）算法步骤第一步：输入两个正整数a,b(a>b);第二步：若a不等于b,则执行第三步；否则转到第五步；第三步：把a-b的差赋予r

8、;第四步：如果b>r,那么把b赋给a,把r赋给b;否则把r赋给a，执行第二步；第五步：输出最大公约数b.（3）程序框图（4）程序INPUT“a,b=“;a,bWHILEa<>br=a-bIFb>rTHENa=bb=rELSEa=rENDIFWEND