2020版高考数学复习第八单元专题探究6最值、范围证明问题练习文（含解析）新人教a版

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1、专题探究6　最值范围证明问题1.[2018·衡水中学月考]已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为22,过y轴上一点M(0,m)作一条直线l:y=kx+m(m≠0),交椭圆于A,B两点,且△ABF1的周长的最大值为8.(1)求椭圆的方程;(2)以点N为圆心,半径为

2、ON

3、的圆的方程为x2+(y+m)2=m2,过线段AB的中点C作圆的切线CE,E为切点,证明:当

4、NC

5、

6、NE

7、取最大值时,点M在短轴上(不包括短轴端点及原点).2.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个顶

8、点到直线l:y=x的距离分别为62,22.(1)求椭圆C的离心率;(2)过圆O:x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线PM和PN,直线PM,PN分别与圆O交于点M,N,求△PMN的面积的最大值.3.[2018·荆州中学月考]已知抛物线C:y2=2px(p>0),且Q(q,0),M14,-1,N(n,4)三点中恰有两点在抛物线C上,另一点是抛物线C的焦点.(1)求证:Q,M,N三点共线;(2)若直线l过抛物线C的焦点且与抛物线C交于A,B两点,点A到x轴的距离为d1,点B到y轴的距离为d2,求d14+d22的最小值.4.

9、[2018·临沂沂水一中月考]已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点-2,53,且离心率为23,直线l过点(0,-1),M,N是椭圆C上关于直线l对称的两点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求直线l在x轴上的截距的取值范围.5.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)过A(2,0),B(0,1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率;(2)设P为第三象限内一点,且P在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:四边形ABNM的面积为定值.6.[2018·衡水中学月考]已知右焦点为F

10、(c,0)的椭圆E:x2a2+y23=1(a>0)关于直线x=c对称的图形过坐标原点,A是椭圆E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在椭圆E上,且MA⊥NA.(1)当

11、AM

12、=

13、AN

14、时,求△AMN的面积;(2)当2

15、AM

16、=

17、AN

18、时,证明:3

19、AF1

20、+

21、BF1

22、+

23、AB

24、≤

25、AF1

26、+

27、BF1

28、+

29、AF2

30、+

31、BF2

32、=4a=8,∴a=2,又∵ca=22,∴c=2,∴b=2,∴椭圆的方程为x24+y22=1.(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2

33、),由y=kx+m,x2+2y2=4消去y并整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-4=0,由Δ>0得m2<4k2+2.由根与系数的关系得x1+x2=-4km2k2+1,∴y1+y2=2m2k2+1,∴C-2km2k2+1,m2k2+1.∵以点N为圆心,

34、ON

35、为半径的圆的方程为x2+(y+m)2=m2,∴N(0,-m),∴

36、NC

37、2=2km2k2+12+m+m2k2+12=4m2(1+3k2+k4)(2k2+1)2,∵

38、NE

39、=

40、m

41、,∴

42、NC

43、2

44、NE

45、2=4(1+3k2+k4)(2k2+1)2=1+8k2+3(2k

46、2+1)2,令t=8k2+3(t≥3),∴2k2+1=t+14,∴

47、NC

48、2

49、NE

50、2=1+16t(1+t)2=1+16t+1t+2,令y=t+1t(t≥3),则y'=1-1t2>0,∴y=t+1t在[3,+∞)上单调递增,∴t+1t≥103,当且仅当t=3时等号成立,此时

51、NC

52、

53、NE

54、取得最大值,且k=0,∴m2<4k2+2=2,∴-2

55、2,所以2a2=62,2b2=22,解得a=3,b=1,所以椭圆C的离心率e=ca=3-13=63.(2)设点P(xP,yP),则xP2+yP2=4.(i)若两条切线中有一条切线的斜率不存在,则xP=±3,yP=±1,另一条切线的斜率为0,从而PM⊥PN.此时,S△PMN=12

56、PM

57、·

58、PN

59、=12×2×23=23.(ii)若两条切线的斜率均存在,则xP≠±3.设过点P的椭圆的切线方程为y-yP=k(x-xP),则由y-yP=k(x-xP),x23+y2=1,消去y并整理得(3k2+1)x2+6k(yP-kxP)x+3(y

60、P-kxP)2-3=0.依题意得Δ=0,整理得(3-xP2)k2+2xPyPk+1-yP2=0.设切线PM,PN的斜率分别为k1,k2,则k1k2=1-yP23-xP2=xP2-33-xP2=-1,即PM⊥PN,所以线段MN为圆O的直径,

61、MN

62、=4.所以S△PMN=12

63、PM

64、·

65、PN

66、