概率论与数理统计JA

《概率论与数理统计JA》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第四章随机变量的数字特征§1数学期望§2方差§3几种重要随机变量的数学期望和方差§4协方差及相关系数§5矩(1)去掉最高、低分的启示算术平均数是最常用的技巧，平均数作为衡量标准科学合理吗？班级有30个学生，其中两个学生数学考试只得2分和10分。此外，有5个学生得90分，22个得80分，1个得78分。此时该班数学成绩的平均分是：确实，该结果不能反映多数人的真实状况(80分左右合理）。去掉一个最低分，总平均约是79.2分，去掉两个最低分，总平均则是81.7分。这似乎比较符合实际了。第四章随机变量的数字特征演员竞赛：演员表演完后

2、，先由10个（或若干个）评委亮分，裁判长总要去掉最高分和最低分，再用其余的8个数据的平均值作为最后得分。算术平均数有两个缺点：受异常值的影响；计算比较复杂（不能一眼看出）。去掉最高分或最低分，有“弄虚作假”之嫌，不见得都合适。平均数就是中等水平----是不合适的。上述30个学生的数学成绩中，总平均是76.67分。某同学得78分，超过平均数，似乎该是“中上”水平了，其实他是倒数第三名！第四章随机变量的数字特征例:在体操比赛中，规定有四个裁判给一个运动员打分。例如：9.30，9.35，9.45，9.90(按顺序排列)给分是当中

3、两项的平均值：9.4。这样给分规定，避免了过高分数9.90的影响，同时9.40分处于四个裁判分的中间位数，不偏不倚，十分公正。第四章随机变量的数字特征怎样刻划“中等水平”呢？----中位数。例：上面的30个学生的数学成绩依大小排列后，第15位和16位都是80分，所以中位数是80分。那么78分低于此数，当然是中下水平无疑了。众数也是常常使用的代表数，即数据中重复出现次数最多的那个数据。比如，美国某厂职工的月工资数统计如下：月工资数（美元）得此工资的人数100001（总经理）80002（副总经理）50002（助理）200051

4、00012900188002370055002第四章随机变量的数字特征如何来选取该厂的月工资代表数呢？经计算，平均值为1387美元，中位数为900美元，众数为800美元。工厂主为了显示本厂职工的收入高，用少数人的高工资来提高平均数，故采用1387美元。工会领导人则不同意，主张用众数800美元（职工中以拿每月800美元的人最多）。而税务官则希望取中位数，以便知道目前的所得税率会对该厂的多数职工有利还是不利，以便寻求对策。第四章随机变量的数字特征(2)“伟大的”期望值例如，一个体户有一笔资金，如经营西瓜，风险大但利润高（成功的

5、概率为0.7，获利2000元）；如经营工艺品，风险小但获利小（95％会赚，但利润为1000元）。究竟该如何决策？于是计算期望值。若经营西瓜，期望值E1=0.7*2000=1400元。而经营工艺品为E2=0.95*l000=950元。所以权衡下来，情愿“搏一记”，去经营西瓜，因它的期望值高。第四章随机变量的数字特征再举一个用期望值进行决策的例子。某投资者有10万元，有两种投资方案：一是购买股票，二是存入银行获取利息。买股票的收益取决于经济形势：形势好(获利40000元)、形势中等(获利10000元)、形势不好(损失20000

6、元)。如果是存入银行(年利率为8％)，即可得利息8000元。又设经济形势好、中、差的概率分别为30％、50％和20％。试问应选择哪一种方案？第四章随机变量的数字特征下面给出采用期望标准的解法。第四章随机变量的数字特征按最大收益原则，取期望收益高的方案，淘汰期望收益低的方案，所以应采用购买股票的方案。买股票和存银行的期望值分别为第四章随机变量的数字特征设X表示获利,它是离散型随机变量,分布律为X4000010000-200000.30.50.2则获利的期望值为数学期望的定义随机变量函数的数学期望数学期望的性质§1数学期望第四

7、章随机变量的数字特征一、数学期望定义1）离散型第四章随机变量的数字特征§1数学期望设离散型随机变量X的分布律为：若级数绝对收敛，则称随机变量X的数学期望存在，记作EX，且数学期望也称为均值。2）连续型第四章随机变量的数字特征§1数学期望设连续型随机变量X的概率密度为，若积分绝对收敛，则称积分的值为X的数学期望。记为第四章随机变量的数字特征§1数学期望说明变化的平均值．的数学期望刻划了XX)1(的数学期望表示的是随机变量由于随机变量X)2(变化的平均值,X因此，只有当级数的求和顺序无关．的和与其级数å¥=1nnnpx绝对收敛

8、时，才能保证级数åå¥=¥=11nnnnnnpxpx第四章随机变量的数字特征§1数学期望例2，其密度函数为分布服从设随机变量CauchyX()()+¥<<¥-+=xxxf2111p由于()ò+¥¥-dxxfxò+¥+=0212dxxxpò+¥¥-+=dxxx211p()+¥+=021ln1xp()不绝对