概率论与数理统计JA(4.2-3)

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1、上一节课内容复习1）熟练掌握期望定义,会求随机变量函数的数学期望.（下面三组公式是本章最重要的基础公式）设Y=g(X),g(x)是连续函数，2）掌握数学期望的性质,会用性质求期望.,)4EXEYEXYYX=独立，则若3）熟练掌握方差的定义和性质；()22EXDXEX+=()22EXEX-=称Y是随机变量X的标准化了的随机变量。则EY=0,DY=1。§2方差第四章随机变量的数字特征方差的定义方差的性质切比晓夫不等式一、方差的定义§2方差第四章随机变量的数字特征在实际问题中常关心随机变量与均值的偏离程度，

2、可用E

3、X-EX

4、，但不方便；所以通常用设X是随机变量，若存在，来度量随机变量X与其均值EX的偏离程度。称其为随机变量X的方差，记作DX,或Var(X)，即：1）定义：离散型：连续型：第四章随机变量的数字特征2）方差公式注：方差描述了随机变量的取值与其均值的偏离程度。由此式还可得：()22EXEXDX-=()2EXXEDX-=证明：()()()222EXXEXXE+-=()()222EXEXEXEX+-=()()2222EXEXEX+-=()22EXEX-=()22EXDXEX+=§2方差第四章随机

5、变量的数字特征例1甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出:X：甲击中的环数；Y：乙击中的环数；试问哪一个人的射击水平较高？§2方差第四章随机变量的数字特征例1（续）解：比较两个人击中的平均环数甲击中的平均环数为乙击中的平均环数为由于，DXDY<这表明乙的射击水平比甲稳定．因此，从平均环数上看，甲乙两人的射击水平是一样的，但两个人射击环数的方差分别为二、方差的性质第四章随机变量的数字特征证3）：第四章随机变量的数字特征称Y是随机变量X的标准化了的随机变量。则EY=0,DY=1。性质4）的证明将在后面给

6、出。§2方差第四章随机变量的数字特征例14解：第四章随机变量的数字特征先求：例14（续）§2方差第四章随机变量的数字特征则：第四章随机变量的数字特征三、定理：（切比晓夫不等式）则对任意设随机变量X有数学期望证明：(只证X是连续型)例如：在上面不等式中，取，有：§2方差第四章随机变量的数字特征这个不等式给出了随机变量X的分布未知情况下，事件的概率的一种估计方法。§2方差第四章随机变量的数字特征例15设种子的良种率为1/6，任选600粒，试用切比晓夫（Chebyshev）不等式估计：这600粒种子中良种所

7、占比例与1/6之差的绝对值不超过0.02的概率。解：§2方差第四章随机变量的数字特征例16§2方差第四章随机变量的数字特征例16（续）我们有：由此例及方差的性质，{}()为常数CCXP1==的充分必要条件为．0=DX§2方差第四章随机变量的数字特征小结：1）方差的定义；2）方差的性质；3）切比晓夫不等式。第四章随机变量的数字特征§3.几种重要随机变量的数学期望及方差两点分布二项分布泊松分布均匀分布正态分布第四章随机变量的数字特征2）二项分布1）两点分布§3几种期望与方差方法1：.,,2,1,}1{,}

8、0{nipXPqXPiiL=====则第四章随机变量的数字特征，所以方法1说明了二项分布与两点分布的关系。即§3几种期望与方差§3几种期望与方差第四章随机变量的数字特征方法2：第四章随机变量的数字特征§3几种期望与方差第四章随机变量的数字特征§3几种期望与方差第四章随机变量的数字特征3）泊松分布设X服从参数为的泊松分布，§3几种期望与方差第四章随机变量的数字特征§3几种期望与方差第四章随机变量的数字特征4）均匀分布§3几种期望与方差第四章随机变量的数字特征5）正态分布作变换§3几种期望与方差第四章随

9、机变量的数字特征说明：第四章随机变量的数字特征第四章随机变量的数字特征§3几种期望与方差注意：在上一节用切比晓夫不等式估计概率有因此，对于正态随机变量X来说，它的值落在区间x0内几乎是肯定的。第四章随机变量的数字特征§3几种期望与方差要求：熟记两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布的期望值和方差值。