第四章 微积分中值定理与泰勒公式

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1、第四章微积分中值定理与证明4.1微分中值定理与证明一基本结论1．连续性定理：定理1（零点定理）若在连续，，则，使得。定理2（最值定理）若在连续，则存在使得．其中分别是在的最小值和最大值．定理3（介值定理）若在上连续，则存在最小值和最大值分别是，对于任意的，都存在使得．更一般的结论：若在上连续，对，，（假设），则，都存在，使得。2．微分中值定理：定理1（费玛定理）如果是极值点，且在可导，则．定理2（罗尔定理）若在连续，在可导，，则，使得．定理3（拉格朗日定理）若在连续，在可导，则，使得．定理4（柯西定

2、理）若，在连续，在可导，且，则使得．定理5（泰勒公式和麦克劳林公式）（数三不要求）泰勒公式：设在的某个邻域内具有阶导数，则，有，其中在和之间，常常把表示为，．麦克劳林公式：设在的某个邻域内具有阶导数，则，有，其中在和之间．3．连续定理和微分中值定理特点：（1）证明存在性，使函数在一点的函数值满足某个等式，常应用连续性定理：零点定理、最值定理、介值定理，其中最常用的是零点定理．25（2）证明存在性，使函数在一点的导函数值满足某个等式，常应用微分中值定理：费玛定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒

3、公式，其中最常用的是罗尔定理．（3）费玛定理、罗尔定理、拉格朗日定理仅仅涉及一个函数，而柯西中值定理涉及到两个函数；（4）若题设涉及到高阶导数，常应用到泰勒公式和麦克劳林公式；二基本方法题型1方程的根的讨论（函数的零点）1．方程根（函数的零点）的存在性：主要应用零点定理．2．方程根（函数的零点）的个数的讨论：求出单调区间，对每个单调区间应用零点定理来判断是否有零点，即是否有根，从而得到函数在给定的区间上根的个数以及根所处的位置（范围）．例1证明：当时，实系数方程只有唯一实根．证明令，则，由于，于是，

4、即单调递增的．由于，所以与轴有且仅有一个交点．即方程只有唯一实根．例2证明：方程只有一个实根．证明设，则，令，解得．显然在上，，于是在单调减少；在上，，于是在单调增加，而，所以方程只有一个实根．例3讨论方程中的常数，在什么情况仅有一个根，两个根，三个根？解令，则，令，解得．于是在上，单调增加，在上，单调减少；在上，单调增加。如图4-1（1~2），当或，函数图像与轴仅有一个交点；图4-1（1）图4-1（2）如图4-2（1~2），当或，函数图像与轴有两个交点；25图4-2（1）图4-2（2）如图4-3，

5、当且，函数图像与轴有三个交点。综上所述（1）或，方程仅有一个实根；（2）或，方程有两个实根；（3），方程有三个实根；例4设在上有连续导数，且，，证明；在上仅有一个零点．证明应用拉格朗日定理，有，图4-3从而有．根据，则有．又由于，所以一定存在零点.，又由于，函数单调，所以在上仅有一个零点．例5设函数可导，证明：的任何两个零点之间有一个零点．分析引入辅助函数可用解方程方法，即令，于是有，解此方程得到，即，所以辅助函数为．证明设，又设是的两个零点，即.于是，，由于函数可导，于是函数连续，所以在闭区间满足

6、罗尔定理条件，从而存在，使得．由于，所以，这蕴含着．例6（数三不要求）设函数在上有且，证明：在上，方程仅有一实数根.证明根据泰勒公式，于是，显然存在点使得，又由于，以及连续，所以存在零点．下面证明唯一性：只需证明是单调的，即证明或．事实上，由于，，所以在上，．例7求证：方程的根不超过三个．证明用反证法：令，若函数有四个零点，不妨设，且，显然在均满足罗尔定理条件，于是存在三点，其中，使得25．同样，对导函数在应用罗尔定理，则存在两点，其中，且．类似地，对二阶导函数在应用罗尔定理，则存在一点，使得．而，

7、于是有，这是个矛盾结果．注1结论为否定形式的命题，常常用反证法．方程根的讨论方法综述：（1）对具体函数来说，讨论方程根（函数的零点）的存在性、根的个数、根的范围是件比较容易的事情，只要求出单调区间，判断每个单调区间是否有根，就可以得到所需结论．如例1~例3，只是求单调区间，判断每个单调区间是否有零点．（2）对抽象函数来说，讨论方程根（函数的零点）的存在性，往往都要借助导数的性质．为了研究函数的性质，通常要借助导函数，这就需要建立和的必要联系，从而用到微分中值定理，如例4和例6．题型2证明不等式（1）

8、利用函数的单调性（导数或高阶导数）证明不等式例1当时，证明：（1）；（2）．证明（1）设，则，，所以，函数严格单调递增，又由于，因此在上，，于是严格单调递增。又由于，从而在上，．即．（2）设，则，由于，为了确定的符号，我们另令，则，于是严格单调递增，由于，因此在上，．于是，即．例2设，，证明：．25证明为了证明，只要证明．于是令，则，，所以，函数严格单调减少，又由于，因此，即．例3证明：当时，证明（方法1利用凸函数性质）令，得到，所以在上是上凸的，而，所以在上，．即．