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《数学洛必达公式泰勒公式柯西中值定理罗尔定理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、洛必达法则洛必达法则(I,Hospital法则),是在一定条件下通过分了分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。设(1)当x->a时,函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内,F(x)及F(x)都存在且F'(x)H0；⑶当x-*a时limF(x)/F'(x)存在(或为无穷大),那么x-*a时limf(x)/F(x)=limf'(x)/F‘(x)©再设⑴当x-8时,函数f(x)及F(x)都趋于零;(2)当
2、x
3、>N时f'(x)及F'(x)都存在,且F'(x)H0；⑶当x-8时％f，(x)/Pf(x)存在(或为无穷大),那么X-*oo吋limf(x)/F(x)=lim
4、f'(x)/F‘(x)o利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的垂点在解题中应注意：①在着手求极限以前，首先耍检查是否满足血或8/8型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不存在时(不包括8情形)，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用,应从另外途径求极限。比如利用泰勒公式求解。②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。③洛必达法则是求未定式极限的有效工貝，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定耍与具他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离岀來以简化计算、乘积因了用等价•量替换等等.泰勒公式(Taylor'sformula)泰勒中值定理：若函数
5、f(x)在开区间(a,b)冇直到n+1阶的导数,则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于(x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x・)"2,+f'''(x.)/3!*(x-x.厂3+……+f(n)(x.)/n!*(x-x.厂n+Rn其小Rn二f(n+l)(g)/(n+l)!*(x-x.：T(n+l),这里g在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。(注：f(n)(x.)是f(x・)的n阶导数,不是f(n)与x・的相乘。)证明我们知道f(x)二f(x.)+f'(x.)(x-x.)+a(根据拉格朗H中值定理导岀的有限
6、增量定理有limAx—^0f(x.+Ax)-f(x.)=f'(x.)Ax),其中误差a是在limAx—^0即limx-^x.的前提下才趋向于0,所以在近似计算中往往不够精确；于是我们盂要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：P(x)二A0+A1(x~x.)+A2(x~x.)*2++An(x-x.)"n來近似地表示两数f(x)且要写出具课差f(x)-P(x)的具休表达式。设函数P(x)满足P(x.)=f(x.),P'(x.)二f'(x.),P''(x.)=f'(x.),,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出AO、Al、A2、……、An。显然,P(x.)=A0,所以
7、AO二f(x.)；P'(x.)二Al,Al二f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f＞，(x.)/2!……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!。至此,多项的各项系数都已求出，得：P(x)二f(x・)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.厂2++f(n)(x.)/n!?(x~x.)^n.接下来就要求谋差的具体表达式了。设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)二0。所以可以得出Rn(x.)=Rn，(x.)=Rn,'(x.)==Rn(n)(x.)二0。根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.厂(n+1
8、)二(Rn(x)-Rn(x.))/((x-x.)7n+l)~0)二Rn'(U)/(n+l)(U-x.)^n(a：(x.-x.)7n+l)=0),这里gl在x和x.之间;继续使用柯西中值定理得(Rn1)-Rn(x.))/((n+1)(g1-x.)"n-0)=Rn''(E2)/n(n+l)(g2-x.厂(n-l)这里§2在El与x.之间;连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.厂(n+1)二Rn(n+1)(g)/(n+l)!,这里g在x.和x之间。但Rn(n+1)(x)=f(n+l)(x)-P(n+l)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数,故P(n+1)(x)=
9、0,于是得Rn(n+1)(x)=f(n+l)(x)。综上可得,余项Rn(x)二f(n+1)(g)/(n+l)!?(x-x.厂(n+1)。一般来说展开函数时部是为了计算的需要，故x往往要取一个定值，此时也可把Rn(x)写为Rn0麦克劳林展开式:若函数f(x)在开区间(a,b)有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和：f(x)=f(O)+f(O)x+f''(0)/2!?xJ,+f'''(0)/3!?x"3++f(n)(O)/n!
