调性与最大(小)值

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1、1.3.1单调性与最大（小）值观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：1、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？2、随x的增大，y的值有什么变化？问题1画出f(x)=x的图像，并观察其图像。2、在区间________上，随着x的增大，f(x)的值随着______.o5-5-55f(x)=x1、从左至右图象上升还是下降____?上升增大1、在区间________上，f(x)的值随着x的增大而______.问题2画出的图像，并观察图像.o5-5-552、在区间________上，f(x)的值随着x的增大而__

2、___.(-∞,0](0,+∞)减小增大函数单调性的概念：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数,如图2.yx0x1x2f(x1)f(x2)y=f(x)图1yx0x1x2f(x1)f(x2)y=f(x

3、)图21、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质.2、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1f(x2)分别是增函数和减函数.xy21013对于函数y=f(x)，若在区间I上，当x＝1时,y＝1;当x＝2时,y＝3,能说在区间I上函数值y随自变量x的增大而增大吗?如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.函数的单调性定义例1.下图是定义在闭区间[-5,

4、5]上的函数y=f(x)的图象,根据图象说出y=f(x)的单调区间,以及在每个单调区间上,y=f(x)是增函数还是减函数?解:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5],其中y=f(x)在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数,在区间[-2,1),[3,5]上是增函数.用定义证明函数单调性的步骤是：（1）取值（2）作差（4）定号（5）结论根据单调性的定义得结论即取是该区间内的任意两个值且即求（3）变形通过因式分解、配方、有理化等方法即根据给定的区间和的符号来确定的符号例2求证：函数在区间上是单

5、调增函数．，则证明：在区间（0，+∞）上任取两个值且又因为，，所以说即函数在区间（0，+∞）上是单调增函数.探究画出反比例函数的图象．1这个函数的定义域是什么？2它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．xy0{x∣x≠0}分两个区间(0，+∞)，（-∞，0）来考虑其单调性.函数f(x)=1/x在(0，+∞)上是减函数.f(x1)-f(x2)=由于x1,x2得x1x2>0,又由x10所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).证明：（1）在区间(0，+∞)上，设x1,x2是(0，+∞)上任意两个实数

6、，且x1

7、定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;（2）存在，使得.那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果实数M满足：（1）对于任意的的x∈I，都有f(x)≥M;（2）存在，使得，那么我们称M是函数y=f(x)的最小值（minimunvalue）.能否仿照函数的最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值的定义呢？思考函数的最大值是函数值域中的一个元素吗？思考是如果在函数f(x)定义域内存在x1和x2，使对定义域内任意x都有成立，由此你能得到什么结论？如果函数f(x

8、)的最大值是b，最小值是a，那么函数f(x)的值域是[a，b]吗？思考函数f(x)在定义域中既有最大值又有最小值.探究:函数单调性与函数的最值的关系（1）若函数y=f(x)在区间[m，n](m