数值计算方法与误差分析

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1、第一章数值计算引论数值计算方法就是要解决如何让计算机计算数值(如解方程、解方程组、求积分等)不仅算得快（用的机时少）、而且也要算得准（与真实值的误差小)的问题。如果光算得快,算得不准(超过了误差范围),计算出来的结果不能用,计算也就没有什么意义。如何才能让计算机既算得快又算得准（误差达到最小）呢？这就需要掌握一些误差知识。本章介绍的内容ⅰ）数值计算方法的含义及其特点；ⅱ）误差的来源；ⅲ）误差的有关概念（绝对误差、相对误差、有效数字）；ⅳ）误差的传播过程；ⅴ）算法的数值稳定性概念；ⅵ）选用数值算法的若

2、干原则。第一节数值计算方法研究的对象、内容及特点数值计算方法是应用数学的一个分支,又称数值分析或计算方法,它是研究用计算机求解各种数学问题的数值方法及其理论的一门学科,是程序设计和对数值结果进行分析的依据和基础。我们知道，用计算机解决科学计算问题需要经过以下几个过程：提出具体问题,建立数学模型，选用数值计算方法，程序设计、上机调试直至得出最终数值结果。可见,选用数值计算方法是应用计算机进行科学计算全过程的一个重要环节。数值计算方法特点（1）面向计算机。根据计算机特点提供实际可行的有效算法。即算法只能

3、包括加、减、乘、除和逻辑运算，是计算机所能直接处理的。（2）有可靠的理论分析。能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析。有相应的数学理论做基础。（3）有好的计算复杂性（包括空间复杂度和时间复杂度）。算法需占用的存储空间要小，运算次数要少。这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现。第二节误差用计算机解决科学计算问题通常经历以下过程：据此误差的来源主要有以下四类。实际问题数学模型数值计算方法程序设计上机计算结果（一）建模误差在将实际问题转化为数学

4、模型的过程中，为了使数学模型尽量简单，以便于分析或计算，往往要忽略一些次要的因素，进行合理的简化。这样，实际问题与数学模型之间就产生了误差，这种误差称为模型误差。由于这类误差难于作定量分析，所以在计算方法中，总是假定所研究的数学模型是合理的，对模型误差不作深入的讨论。（二）观测误差在数学模型中，一般都含有从观测（或实验）得到的数据，如温度、时间、速度、距离、电流、电压等等。但由于仪器本身的精度有限或某些偶然的客观因素，会引入一定的误差，这类误差叫做观测误差。通常根据测量工具或仪器本身的精度，可以知道

5、这类误差的上限值，所以无需在数值分析中作过多的研究。当数学模型得不到精确解时，要用数值计算方法求它的近似解，由此产生的误差称为截断误差或方法误差。譬如在数值计算中，常用收敛的无穷级数的前几项来代替无穷级数进行计算，即抛弃了无穷级数的后段，这样就产生了截断误差。（三）截断误差（方法误差）（四）舍入误差由于计算机字长有限，原始数据的输入及浮点运算过程中都可能产生误差。而事实上，无论用电子计算器计算还是笔算，都只能用有限位小数来代替无穷小数或用位数较少的小数来代替位数较多的有限小数，这样产生的误差叫做舍入

6、误差。在数值计算中，往往要进行成千上万次四则运算，因而就会有成千上万个舍入误差产生，这些误差一经叠加或传递，对精度可能有较大的影响。所以，作数值计算时，对舍入误差应予以足够的重视。小结上述四类误差都会影响计算结果的准确性，但模型误差和观测误差往往需要会同各有关学科的科学工作者共同研究,因此在计算方法课程中,主要研究截断误差和舍入误差（包括初始数据的误差）对计算结果的影响。一、绝对误差和绝对误差限定义1假设某一量的准确值为x，近似值为x*,则x与x*之差叫做近似值x*的绝对误差（简称误差），记为ε(x

7、)，即ε(x)=x－x*

8、ε(x)︱的大小标志着x*的精确度。一般地，在同一量的不同近似值中,︱ε(x)︱越小，x*的精确度越高。当︱ε(x)︱较小时，由微分和增量的关系知x*的绝对误差ε(x)≈dx，故我们可以利用微分估计误差。绝对误差限的概念由于准确值x一般不能得到，于是误差的准确值也无法求得，但在实际测量计算时，可根据具体情况估计出它的大小范围。也就是指定一个适当小的正数ξ，使

9、ε(x)

10、=

11、x－x*

12、≤ξ我们称ξ为近似值x*的绝对误差限。有时也用x=x*±ξ表示近似值的精度或准确值的所在范围

13、。在实际问题中，绝对误差一般是有量纲的。例如，测得某一物体的长度为5m，其误差限为0.01m，通常将准确长度ѕ记为ѕ=5±0.01即准确值在5m左右，其误差限为0.01m的误差限。相对误差的概念定义2我们把绝对误差与准确值之比εr(x)=ε(x)/x=(x－x*)/x，x≠0称为x*的相对误差。由于准确值x往往是不知道的，因此在实际问题中，当

14、εr(x)

15、较小时，常取εr(x)=ε(x)/x*一般地，在同一量或不同量的几个近似值中，

16、εr(x)

17、小者精确度高。相对误差