北京中考数学29题新定义综合练习

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1、寒假作业之新定义1．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）（x≥0）的每一个整数点，给出如下定义：如果也是整数点，则称点为点P的“整根点”．例如：点（25，36）的“整根点”为点（5，6）.（1）点A（4，8），B（0，16），C（25，－9）的整根点是否存在，若存在请写出整根点的坐标；（2）如果点M对应的整根点的坐标为（2，3），则点M的坐标；（3）在坐标系内有一开口朝下的二次函数，如果在第一象限内的二次函数图像内部（不在图像上），若存在整根点的点只有三个请求出实数a的取值范围.备用图2..如图，对于平面直角坐标系xOy中的点P和线段AB，给出如下定义：如果线段AB上存在

2、两个点M，N，使得∠MPN=30°，那么称点P为线段AB的伴随点．（1）已知点A（-1，0），B（1，0）及D（1，-1），E，F（0，），①在点D，E，F中，线段AB的伴随点是_________；②作直线AF，若直线AF上的点P（m，n）是线段AB的伴随点，求m的取值范围；（2）平面内有一个腰长为1的等腰直角三角形，若该三角形边上的任意一点都是某条线段a的伴随点，请直接写出这条线段a的长度的范围．3.若抛物线L：与直线都经过y轴上的同一点，且抛物线L的顶点在直线l上，则称此抛物线L与直线l具有“一带一路”关系，并且将直线l叫做抛物线L的“路线”，抛物线L叫做直线l的“带线”.(

3、1)若“路线”l的表达式为，它的“带线”L的顶点在反比例函数(x＜0)的图象上，求“带线”L的表达式；(2)如果抛物线与直线具有“一带一路”关系，求m,n的值；(3)设(2)中的“带线”L与它的“路线”l在y轴上的交点为A.已知点P为“带线”L上的点，当以点P为圆心的圆与“路线”l相切于点A时，求出点P的坐标.备用图4．在平面直角坐标系xOy中，定义点P（x,y）的变换点为P′(x+y,x-y)．(1)如图1，如果⊙O的半径为，①请你判断M(2,0)，N(-2,-1)两个点的变换点与⊙O的位置关系；②若点P在直线y=x+2上，点P的变换点P′在⊙O的内，求点P横坐标的取值范围.(

4、2)如图2，如果⊙O的半径为1,且P的变换点P’在直线y=-2x+6上，求点P与⊙O上任意一点距离的最小值．5.在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，且，，若为某个菱形的两个相对顶点，且该菱形的一边与轴平行，则称该菱形为点的“相关菱形”，下图为点的“相关菱形”的示意图．（1）已知点的坐标为，点的坐标为，且点的“相关菱形”为正方形，则此“相关菱形”的周长为__________；（2）若点的坐标为，点在直线上，且的“相关菱形”有一个内角为，求点的坐标；（3）⊙的半径为，点的坐标为（其中），若在⊙上存在一点，使得点的“相关菱形”有一个内角为，直接写出的取值范围．6.阅读材料：①直

5、线外一点P到直线的垂线段的长度，叫做点P到直线的距离，记作d（P，）②两条平行线，，直线上任意一点到直线的距离，叫做这两条平行线，之间的距离，记住d（，）；③若直线，相交，则定义d（，）=0④对于同一条直线，我们定义d（，）=0。对于两点，和两条直线，，定义两点，的“，—相关距离”如下：d（，，）=d（，）+d（，）+d（，）设（4，0），（0，3），，，，，解决以下问题：（1）d（，，）=____________，d（，，）=_______________（2）①若k>0，则当d（，，）最大时，k=_________；②若k<0，试确定k的值使得d（，，）最大。（3）若，且，，

6、的夹角是30°，直接写出d（，，）的最大值________。7.平面上有两条直线AB、CD相交于点O，且∠BOD=150°（如图），现按如下要求规定此平面上点的“距离坐标”：①点O的“距离坐标”为（0，0）；②在直线CD上，且到直线AB的距离为p（p＞0）的点的“距离坐标”为（p，0）；在直线AB上，且到直线CD的距离为q（q＞0）的点的“距离坐标”为（0，q）；③到直线AB、CD的距离分别为p，q（p＞0，q＞0）的点的“距离坐标”为（p，q）．设M为此平面上的点，其“距离坐标”为（m，n），根据上述对点的“距离坐标”的规定，解决下列问题：（1）画出图形（保留画图痕迹）：①满足

7、m=1，且n=0的点M的集合；②满足m=n的点M的集合；（2）若点M在过点O且与直线CD垂直的直线l上，求m与n所满足的关系式．（说明：图中OI长为一个单位长）8．阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在