规范答题示范课(一)函数与导数类解答题

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1、规范答题示范课(一)函数与导数类解答题12【真题示例】(12分)(2015·全国卷Ⅱ)已知f(x)=lnx+a(1-x).(1)讨论f(x)的单调性.(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围.3【联想破译】联想因素：函数的单调性、最值、参数a.联想线路：(1)先求f(x)的导数，再利用导数判断单调性.(2)求出f(x)的最值，然后构造函数确定a的取值范围.4【标准答案】(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，①…………………………1分若a≤0②，则f′(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.……………………………………

2、………2分若a>0②，则当x∈时，f′(x)>0；x∈时，f′(x)<0，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减.③………………4分5(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上无最大值；当a>0时,f(x)在处取得最大值，最大值为=－lna+a－1.④…5分因此等价于lna+a－1<0，…………6分令g(a)=lna+a－1，⑤……………………………8分则g(a)在(0,+∞)上单调递增，g(1)=0.⑥……………………………………………………9分6于是，当0

3、10分当a>1时，⑦g(a)>0.……………………………………………11分因此，a的取值范围是(0,1).⑧……………………………………………………………………12分7【解题程序】第一步：求导数：求f(x)的导数，并注明定义域.第二步：定符号：分情况判断导数符号，得出单调性.第三步：求最值：求出函数f(x)最大值，得到关于a的不等式.第四步：构造：根据不等式的特点构造新函数.第五步：转化：将不等式问题转化为函数的单调性问题.第六步：总结写出结论.8【满分心得】(1)写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定

4、要写全，如第(1)问，求出导数就得分，第(2)问中，在01做出一种得1分.9(2)写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中一定要写出判断导数符号的过程，没有则不得分；第(2)问中直接由不等式得出a的范围，不得分，只有求出函数f(x)的最大值，构造出新函数，结合新函数的单调性，才给分，步骤才是关键的，只有结果不得分.10(13分)(2015·北京高考)设函数f(x)=-klnx,k>0.(1)求f(x)的单调区间和极值.(2)证明若f(x)有零点,则f(x)在区间(1,)上

5、仅有一个零点.11【答卷抽样】12【体验阅卷】仔细审题，看看以上解题过程有错误吗?你认为此答案可以得多少分?归纳一下，从这个解题过程中自己可以得到哪些启示?13分析：上面解答过程中存在两处失分点：一是第(1)问中未写明函数的定义域，而后面求解过程中用到了定义域，此处会扣掉2分；二是第(2)问中判断零点问题时，只注意了端点处函数值的符号，而没有考虑函数的单调性，分别扣掉2分.综上可知答案及结论正确，但证明过程不完整，一共扣掉8分，本题只能得5分.14启示：1.注意定义域优先原则讨论函数问题，首先要考虑函数的定义域，在本题中含有对数式，故求解时要先求函数

6、的定义域.2.牢记常用结论及方法涉及利用导数解决函数的零点问题时，要牢固掌握利用导数求函数极值、单调性的一般方法，由此画出函数的图象并结合零点存在性定理研究零点个数，并要注意其步骤的严谨性及答题的规范性，避免出现解答不完整的情况.15【规范解答】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=……………………………………………………………………1分因为k>0,所以令f′(x)=0得x=,列表如下:减区间为(0,),增区间为(,+∞).………………………3分当x=时,取得极小值f()=…………………5分x(0,)(,+∞)f′(x)-0+f(x)↘极

7、小值↗16(2)当≤1,即00,所以f(x)在区间(1,)上没有零点.……………………………………………………………7分当1<<,即10,f()=>0,f()=>0,此时函数没有零点.……………………………………………10分当≥,即k≥e时,f(x)在(1,)上单调递减,…………11分f(1)=>0,f()=<0.所

8、以f(x)在区间(1,)上仅有一个零点.…………………………………………………………………12分综上,若f(