《空间曲面及其方程》PPT课件

《《空间曲面及其方程》PPT课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、Mar.8Wed.§6曲面及其方程曲面方程的概念几种常见曲面：柱面，旋转曲面二次曲面一曲面方程的概念水桶的表面、台灯的罩子面等．曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．曲面的实例：曲面方程的定义：(1)曲面S上任一点的坐标都满足方程；(2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程；曲面上的点(x,y,z)的坐标可以表示为两个变量u,v的函数，即也是曲面的方程，称为曲面的参数方程，其中u,v为参数。解根据题意有所求方程为特殊地：球心在原点时方程为0xzyM(R,,)RNyxz.解解根据题意有所求方程为根据题意有图形上

2、不封顶，下封底．解例4方程的图形是怎样的？以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．二几种常见曲面引例.分析方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程解:在xoy面上，表示圆C,沿曲线C平行于z轴的一切直线所形成的曲面称为圆故在空间过此点作柱面.对任意z,平行z轴的直线l,表示圆柱面在圆C上任取一点其上所有点的坐标都满足此方程,1柱面平行定直线并沿定曲线C移动的直线l形成的轨迹叫做柱面.C叫做准线,l叫做母线

3、.xzy0母线F(x,y)=0z=0准线(不含z)M(x,y,z)N(x,y,0)S曲面S上每一点都满足方程；曲面S外的每一点都不满足方程F(x,y)=0表示母线平行于z轴的柱面点N满足方程，故点M满足方程一般柱面F(x,y)=0母线准线(不含x)F(y,z)=0x=0xzy0F(y,z)=0表示母线平行于x轴的柱面一般柱面F(y,z)=0柱面举例抛物柱面平面abzxyo椭圆柱面zxy=0yo双曲柱面zxyo抛物柱面从柱面方程看柱面的特征：（其他类推）实例椭圆柱面//双曲柱面//抛物柱面//定义以一条平面曲线绕其平面上

4、的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．2旋转面曲线CCyzo绕z轴旋转面的方程曲线CxCyzo绕z轴.旋转面的方程曲线C旋转一周得旋转曲面SCSMNzPyzo绕z轴.f(y1,z1)=0M(x,y,z)xS旋转面的方程旋转过程中的特征：如图将代入将代入得方程3锥面以直线通过一定点，一条固定曲线移动所产生的曲面成为锥面。准线顶点x0zy动直线母线定点顶点固定线准线准线为圆周的锥面称为圆锥面。顶点在原点的圆锥面称为正圆锥面。解圆锥面方程正圆锥面：椭圆锥面：试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶

5、角为的圆锥面方程.解:在yoz面上直线L的方程为绕z轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方正圆锥面：椭圆锥面：三二次曲面三元二次方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍.其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面.(二次项系数不全为0)用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．研究二次曲面特性的基本方法:截痕法1.球面过球面一点，且与过这点的半径垂直的平面成为切平面，该点称为切点。解：显然整个球面在同一卦限，

6、又由于(1,2,5)在第一卦限，故该球面在第一卦限。2椭球面椭球面与三个坐标面的交线：1).对称性：关于3个坐标面、原点、轴对称；2).有界性：3).曲面截痕：椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面的交线为椭圆几种特殊情况：旋转椭球面旋转椭球面与椭球面的区别：方程可写为与平面的交线为圆.球面截面上圆的方程方程可写为3抛物面（与同号）椭圆抛物面用截痕法讨论：（1）用坐标面与曲面相截截得一点，即坐标原点设原点也叫椭圆抛物面的顶点.与平面的交线为椭圆.当变动时，这种椭圆的中心都在轴上.与平面不相交.（2）用坐标面

7、与曲面相截截得抛物线与平面的交线为抛物线.它的轴平行于轴顶点（3）用坐标面，与曲面相截均可得抛物线.同理当时可类似讨论.zxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：特殊地：当时，方程变为旋转抛物面（由面上的抛物线绕它的轴旋转而成的）与平面的交线为圆.当变动时，这种圆的中心都在轴上.（与同号）双曲抛物面（马鞍面）用截痕法讨论：设图形如下：xyzo过原点，对称于yoz面和xoz面.zo（1）与平面的交线为双曲线.（2）与平面的交线为开口向下的抛物线.（3）与平面的交线为开口向上的抛物线.实轴为y轴实轴为x轴为两条相交直线4双曲面

8、(1)单叶双曲面椭圆.时,截痕为(实轴平行于x轴；虚轴平行于z轴）平面上的截痕情况:双曲线:虚轴平行于x轴）时,截痕为时,截痕为(实轴平行于z轴;相交直线:双曲线:(2)双叶双曲面双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线单叶双曲面双叶双曲面单叶双曲面图形xyoz平面的截痕是两对相交直线.双叶双曲面xyo环面z绕y轴旋转所