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《研究生数值分析第6章》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第六章数值积分§6.1数值积分基本概念一、引言计算定积分可用牛顿—莱布尼兹公式来计算:其中F(x)是f(x)的原函数之一，可用不定积分求得。而在实际问题中，大量函数的原函数不容易或根本无法求出，例如概率统计中常用的概率积分，及积分等根本无法用初等函数来表示其原函数，因而也就无法精确计算其定积分，只能运用数值积分。本章主要介绍：求积公式及其误差估计、求积公式的代数精度、收敛性及稳定性、Romberg求积法与外推原理。二、插值求积公式在区间[a,b]上的定积分，其某个数值积分公式就是在区间[a,b]内取n+1个点.利用被积函数f(x)在这n+1个点的函数值的某一种线性组合来近似
2、作为待求定积分的值，即（6.1.3）右端公式称为左边定积分的某个数值求积公式。其中,xk称为积分节点，Ak称为求积系数。因此，数值积分公式关键在于积分节点xk的选取和积分系数Ak的决定，其中Ak与被积函数f(x)无关。为得到求积公式，我们可在区间[a,b]上用Lagrange插值多项式，得，其中我们称这个求积公式为插值求积公式。此时，插值余项为：三、积分公式的代数精度定义1：若的数值积分公式对任意一个次数不高于m次的多项式都精确成立，而存在一个m+1次多项式使之不精确成立，则称该数值积分公式的代数精度为m．对于代数精度为m的求积公式，若f(x)是不超过m次的代数多项式，求积
3、公式是精确成立的。例1有积分公式:,求该积分公式的代数精度。这个求积公式的几何意义是：曲边梯形的面积近似地用两个梯形面积来代替。解：(1)取f(x)=1，定积分,而数值积分，两端相等；-11XYf(-1)f(1)f(0)(2)取f(x)=x，定积分,而数值积分，两端相等；(3)取，定积分,而数值积分，两端不相等；只要取f(x)=1，f(x)=x验证了上述求积公式精确成立，就意味着对于任意一个一次多项式，求积公式都是精确成立的；而取时求积公式不精确成立，也就是存在一个二次多项式使求积公式不精确成立；故该求积公式的代数精度为1。例2在如下求积公式中，求节点和相应的求积系数，使其
4、代数精度尽可能高。解：(1).f(x)=1,,而数值积分为；得到方程；(2).f(x)=x，，而数值积分为；于是得到方程(3).，，而数值积分为；于是得到方程；(4).，，而数值积分为；于是得到方程；综合上述方程：得得得，，由的对称性，及得；代入(2)得，又由(1)，解得:。于是我们得到积分公式：。再取，有，而数值积分为，两式不相等，求积公式不精确成立了。所以，该积分公式的代数精确度为3。定理1求积公式（6.1.3）是插值求积公式的充要条件是（6.1.3）至少有次代数精度。证明：当时，，公式精确成立，所以（6.1.3）至少有次代数精度。反之，若（6.1.3）至少有次代数精度
5、，则，（6.1.3）精确成立，这时取为插值基函数即知，，所以（6.1.3）是插值求积公式。四、求积公式的收敛性与稳定性定义2若，则称求积公式（6.1.3）是收敛的。稳定性是研究计算和式，当有误差时，的误差是否增长。现设，误差为．定义3对只要就有，则称求积公式（6.1.3）是数值稳定的。定理2若求积公式（6.1.3）的系数，则（6.1.3）是数值稳定的。证明：由于，，所以于是，对只要，就有，即求积公式（6.1.3）是数值稳定的。§6.2梯形公式与Simpson求积公式一、Newton—Cotes公式与Simpson公式Newton—Cotes公式是由拉格朗日插值公式推导出来的
6、一个系列求积公式。将区间[a,b]等分n等份,记,分点为,k=0,1,...,n,这n+1个节点上的函数值为,从而区间[a,b]上的拉格朗日插值多项式为其中,为插值基本多项式,与函数f(x)无关,k=0,1,...,n。由于插值结点是等距节点，故插值多项式可以进一步化简:因为，，故，因，作变量代换，，当时，t=0；当x=n时，t=n；故记，我们称为柯特斯（Cotes）系数，其不仅与函数f(x)无关，而且与积分区间[a,b]无关。例:n=1时，,;n=2时，,,;n=3时，，，，；的柯特斯系数见表6—1，时出现负数。一般地，我们有n阶Newton—Cotes公式：这是一类数值
7、求积公式。二、Cotes系数的性质引理n阶Newton—Cotes公式的代数精度至少是n。证明若是一个次数不超过n的多项式，则，其拉格朗日插值公式的插值余项为：故，这是对一切x均相等，精确成立。所以，即，数值积分公式的值精确地等于定积分的值，故n阶Newton—Cotes公式的代数精度至少是n。结论当n为奇数时，n阶Newton—Cotes公式的代数精确度为n；当n为偶数时，n阶Newton—Cotes公式的代数精确度是n+1。性质1归一公式：．证明由于数值积分公式的代数精确度至少为n，故对于，数值积分公式是精确成
