研究生数值分析(16)

《研究生数值分析(16)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、§2Ｈermite插值虽然分段线性插值多项式具有良好的一致收敛性，但它是不光滑的，即在内节点处一阶导数不连续，这往往不满足实际应用的需要。为克服这个缺陷，一个自然的想法是添加一阶导数插值条件。定义　给定n+1个互异节点已知以及其中使其满足条件此问题称为Ｈermite插值问题。称满足条件的多项式为Ｈermite插值多项式。问题是：在次数不高于m+n+1的多项式集合中，求一多项式定理2设n+1个节点互异，则在多项式集合中，唯一地存在多项式它满足条件（Ｉ）一般地，令其中，是满足的n次插值多项式证明先证存在性令其中，是满足插值条件的n次插

2、值多项式显然并且，对任意的，多项式已满足条件由条件得因而有此式是一个以为未知数的线性方程组因函数组在点集上线性无关，故此线性方程组有唯一解因而多项式被确定，它满足条件再证唯一性设存在两个多项式它们都满足条件记，则有因而r(x)有m+1个二重零点和n-m个单零点。由于2(m+1)+n-m=m+n+2，而所以只能即证毕定理3设是互异的实数，对于给定的x实质函数f(x)在区间上具有m+n+2阶导数是满足条件(Ｉ)的Ｈermite插值多项式，则用近似代替f(x)的余项为其中且依赖于x。证明当x恰是某个节点时两边都为零，定理结论成立，ξ可为

3、内任一点。今设x易于所有的节点，构造辅助函数易知，是的零点。根据Rolle定理，在区间内至少有n+1个异于的零点；又也是的零点，故在区间内至少有m+n+2个互异零点。继续使用Rolle定理，可知在区间内至少有一个零点ξ，即其中且依赖于x。但用t=ξ代入上式，并解出即得式证毕在几何上表示曲线满足条件(Ｉ)的Ｈermite插值多项式不仅要通过点处曲线，而且在点有共同的切线。与曲线例求满足条件的Ｈermite插值多项式。12324123解：由题知Ｈermite插值多项式为其中先求满足的二次插值多项式用Newton插值多项式再设由求得，故

4、所求的Ｈermite插值多项式为练习：给定函数表0121210-1求满足条件的Ｈermite插值多项式。