研究生数值分析第7章b

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1、§7.4亚当斯方法(Adams)一、单步方法和多步方法1、单步方法前面讲的方法：欧拉方法、改进欧拉方法、龙格－库塔方法均是单步方法，即在每一步要计算时,只要前面一个值已知的条件下就可以计算出了。特点：(1)可以自成系统进行直接计算，因为初始条件只有一个已知，由可以计算，，，不必借助于其它方法,这种称为单步方法是自开始的。(2)如果格式简单，则精度低，如欧拉方法，只有一阶精度；若提高精度，则计算很复杂，如Runge－Kutta方法。(3)公式的构造推导也很复杂。2、多步方法利用前面已计算出来的，这前面计

2、算好的个值来计算，这样自由度的增加来提高格式的精度，这样的方法称为多步方法，利用k个值计算，称为k步方法。特点：(1)因初始条件只有一个，因此多步方法要借助高阶的单步方法来开始.例如,已知，用单步的四阶Runge－Kutta方法计算，再计算，再由计算，用单步方法有后，再运用四阶的四步方法，由计算；由计算；由计算；一直下去均可以用多步方法了，而且始终达到四阶精度.(2)多步方法比较简单。如四阶的四步方法，用四个点的函数值的线性组合即可,而且每步中后三个函数值下一步还可使用。二、显式亚当斯（Adams）方

3、法1、方法的构造思想Adams方法是多步方法中的一类。考虑微分方程初值问题，将微分方程在上积分，得下面我们来推导四步显式Adams方法，即若已知来计算。简记，用的拉格朗日插值多项式代替f上面积分很简单,截断部分,用等距步长,得到的方法就是显式Adams方法：以上可以看到该方法的局部截断误差是因而是四阶精度的。例1:解:取,首先用四阶Runge－Kutta方法来起步,计算出,,下面不必用Runge－Kutta方法,而开始用四阶Adams方法。(1)求,,,,。(2)求只要补算，得(3)求只要补算，得现列

4、表看用Adams方法求出的误差,精解为0.81.61142311.61245151.01.72984031.73205081.21.84066161.8439089三、隐式亚当斯（Adams）方法与显式不同，我们用作为插值结点,关键不同在于也是插值结点,相应带来，从而导致是隐式格式。用插值多项式来代替积分中的得:截掉得近似公式:其中，直接计算得：，从而得四阶隐式Adams方法。因,而是未知的,故这是隐式格式。隐式格式的解法——用预测－校正法，即用显式格式作为预测值,再用隐式格式来校正。预测值:校正值:

5、例2:，精确解为,取步长,用四阶多步方法,预测－校正方法。解:首先用四阶龙格－库塔方法求：,,(1)求,,,。用显式四步格式得预测值:，用隐式格式来校正:精确解为；预测值的误差为:；校正值的误差为:,精度大大提高。(2)求只要补算预测值:，校正值:精确解为:；预测值的误差为:；校正值的误差为:(3)求只要补算预测值:，校正值:精确解为:；预测值的误差为:；校正值的误差为:。例3：，用。解：先用Runge－Kutta方法求起步。(1)求(2)、求(3)求然后用四阶Adams方法，预测－校正方法求。(4)

6、求预测值：，校正值：(5)求补充：预测值:校正值:(6)、求补充：预测值：，校正值：精确解为：列表如下：0.80.52664330.52729241.00.36682550.36787941.20.23598380.2369277第七章关于微分方程数值解小结一阶微分方程初值问题：该问题的解是在区间内的一个可微函数,而数值解是该区间内离散的点上的的近似值，即将区间等分，，一、欧拉方法格式：。特点:(1)是单步方法；(2)是显式格式；(3)局部截断误差是，因而是一阶精度。局部截断误差是指：当是精确解下，由

7、按照欧拉方法计算出来的的误差称为局部截断误差。即，则称为局部截断误差。即是局部截断误差。换言之，局部截断误差是差分格式中均换成精确解时，所截断部分，即局部截断误差。例如：，由，则欧拉格式是将项截断得：，因此局部截断误差是。二、改进欧拉方法格式：特点:(1)是单步方法；(2)是隐式格式；(3)局部截断误差是，因而是二阶精度。可用预测－校正方法来求隐式格式中的：三、Runge－Kutta法二阶Runge－Kutta方法：三阶Runge－Kutta方法：系数：局部截断误差，具有三阶精度。四阶Runge－Ku

8、tta方法：系数：截断误差，达到四阶精度。相应的标准四阶Runge－Kutta方法系数表为：01001例：试证任意参数t(0