课题：§3.3.2函数的极值与导数

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1、课题：§3.3.2函数的极值与导数授课时间：总第课时教学目标：1.理解极大值、极小值的概念；2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值的步骤；教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.教学过程：新课讲授一、导入新课观察下图中P点附近图像从左到右的变化趋势、P点的函数值以及点P位置的特点oax1x2x34bxyP(x1,f(x1))y=f(x)Q(x2,f(x2))函数图像在P点附近从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（函数由单调递增变为单调递减），在P点

2、附近，P点的位置最高，函数值最大二、数学建构x02y极值点的定义:观察右图可以看出，函数在x=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在x=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(2)是函数的一个极小值。一般地，设函数在及其附近有定义，如果的值比附近所有各点的函数值都大，我们说f()是函数的一个极大值；如果的值比附近所有各点的函数值都小，我们说f()是函数的一个极小值。极大值与极小值统称极值。取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点：(让同学讨论)（ⅰ）极值是一个局部概念。由定义可知极值

3、只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。oax1x2x3x4bxy（ⅱ）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而>。（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。极值点与导数的关系:复习可导函数在定义域上的单调性与导函数值的相互关系,引导学生寻找函数极值点与导数之间的关系.

4、由上图可以看出，在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有。但反过来不一定。若寻找函数极值点,可否只由=0求得即可?探索:x=0是否是函数=x的极值点?（展示此函数的图形）在处，曲线的切线是水平的,即=0，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小,故不是极值点。如果使，那么在什么情况下是的极值点呢？观察下左图所示，若是的极大值点，则两侧附近点的函数值必须小于。因此，的左侧附近只能是增函数，即，的右侧附近只能是减函数，即，同理，如下右图所示，若是极小值点，则在的左侧附近只能是减函数，即，在的右侧附近只能是增函数，即，oax0b

5、xyoax0bxy从而我们得出结论(给出寻找和判断可导函数的极值点的方法,同时巩固导数与函数单调性之间的关系）：[来源:学科网ZXXK]若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值。结论：左右侧导数异号是函数f(x)的极值点=0反过来是否成立?各是什么条件?点是极值点的充分不必要条件是在这点两侧的导数异号；点是极值点的必要不充分条件是在这点的导数为0.例1．求的极值解：因为，所以。下面分两种情况讨论：（1）当>0,即，或时；（2）当<0,即时.当x变化时

6、，，的变化情况如下表：-2(-2,2)2+0－0+↗极大值↘极小值↗因此，当时，有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为。函数的图像如图所示。五：回顾与小结：1、极值的判定方法；2、极值的求法注意点：1、f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件2、数形结合以及函数与方程思想的应用3、要想知道x0是极大值点还是极小值点就必须判断f¢(x0)=0左右侧导数的符号.六：课外作业七：教后记