§1.3.2函数的极值与导数

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1、§1.3.2函数的极值与导数（第1课时）高二年级李汉教学目标：1.理解极大值、极小值的概念；2.能够运用判断极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值的步骤；教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.教学难点：极大、极小值概念的理解。教学过程：一．创设情景观察图1.3-8，我们发现，时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？二．新课讲授1.极大值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所

2、有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点2.极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点3.极大值与极小值统称为极值对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.从图象观察得出，判别极大、极小值的方法。同时注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较并不意味着它在函数的整个的

3、定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点4.判别f(x0)是极大、极小值的方法:若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值；并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值三．应用举例：例1．（课本例4）求

4、的极值解：因为，所以。由=0解得x=2,或x=-2下面分两种情况讨论：（1）当>0,即，或时；（2）当<0,即时.当x变化时，，的变化情况如下表：-2(-2,2)2+0－0+↗极大值↘极小值↗因此，当时，有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为。函数的图像如图所示。小结.求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)(2)求方程f′(x)=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根

5、处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f(x)在这个根处无极值例2.求函数y=(x2－1)3+1的极值解：y′=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2令y′=0解得x1=－1，x2=0，x3=1当x变化时，y′，y的变化情况如下表-1(-1,0)0(0,1)1－0－0+0+↘无极值↘极小值0↗无极值↗∴当x=0时，y有极小值且y极小值=0四、巩固练习：1．求下列函数的极值.(1)y=x2－7x+6(2)y=x3－27x(1)解：y′=(x2－7x+6)′=2x

6、－7令y′=0，解得x=.当x变化时，y′，y的变化情况如下表.－0+↘极小值↗∴当x=时，y有极小值，且y极小值=－.(2)解：y′=(x3－27x)′=3x2－27=3(x+3)(x－3)令y′=0，解得x1=－3，x2=3.当x变化时，y′，y的变化情况如下表.-3(-3,3)3+0－0+↗极大值54↘极小值-54↗∴当x=－3时，y有极大值，且y极大值=54.当x=3时，y有极小值，且y极小值=－54五、课堂小结：函数的极大、极小值的概念以及判断方法.求可导函数f(x)的极值的三个步骤.六、课后作业：课本P291，2.