常用统计量(二)：差异量

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1、第二章常用统计量之二：差异量数人文院：滕瀚hanteng99@163.com问题：假设有两组数据甲组为8，9，10，13，13，14，14，15，其均数为12；乙组为3，5，5，7，9，13，21，33，其均数也为12。试问这两列数据的分布一样吗？为什么？哪一组平均数的代表性更好一些呢？一、方差与标准差（一）离均差（d）和平均差（AD）d=AD=d:每个数据（）与其平均数（）的差距大小或离开平均数的距离（），即每个数据离均差（简称离差，源于英文deviationfrommean）的大小AD是次数分布中所有原始数据与平均数距离的绝对值的平均。例：有5名被试的错觉实验数据如下，求其平均差。

2、被试12345错觉量（单位：毫秒）1618202217表3-1方差的含义与计算表象表示一列数据一般水平时需将各个数据进行平均一样，表示一列数据离均差的一般水平亦需将各个离均差进行平均。这是因为一列数据的离均差有大有小，而作为该列数据差异水平大小的一个最好代表值是离均差的平均数，即有AD=问题：求离均差的平均数，首先需求出每一列数据的离均差，如表4-1第3栏和第6栏。但是离均差有正有负，正负抵消，离均差的和为0，即，则离均差的平均数（）也为0，计算结果无意义。问题的解决：方差和标准差！为了使离均差之和不为0，我们可采用代数的处理方法，对每一个离均差进行平方后再求和，即先求离均差的平方，即

3、；再将所有离均差平方相加求和，即，详见第4栏和第7栏；最后再求离均差平方算术平均数，即为方差方差是对一列数据的平均差距进行了平方，要还原为一列数据的平均差距则需开平方根，标准差（StandardDeviation）就是方差的算术平方根，表示一列数据的平均差距。样本标准差用S或SD表示。方差（variance）：离均差平方和的算术平均数，符号为S2或SD2（样本方差）。方差又称变异数，有时用符号V（Variation）表示，或称均方差、均方（MeanSquareDeviation）。标准差（standarddeviation）：方差的正的平方根，即离均差平方和求算术平均数后的正的平方根，

4、符号为S或SD。总体方差总体标准差总体方差的无偏估计量总体标准差的无偏估计量方差或标准差能够很好地度量数据的变异性，如果数据越集中，方差或标准差的值就越小；反之，数据越分散，方差或标准差的值就越大。值得注意的是这种比较需在平均数相等的条件才能进行，若两列数据的平均数不同，尤其平均数相差悬殊时则不能进行这种比较，需要其他的方法进行比较。（二）方差和标准差的分析方法方差与标准差的计算有多种方法，如定义式，原始数据式和加权式等计算方法。1、定义式根据上述方差和标准差定义进行的计算，即有样本方差的计算=样本标准差的计算-1-1-1-1教材p44公式2·13和2·142、计算式一方面是因为其计算

5、过程较多、较繁杂，另一方面则因为平均数的计算出现小数时，离均差及离均差平方的计算过程需四舍五入，由此会损失一部分数据信息，造成计算结果的欠准确。计算式是直接利用原始数据计算方差和标准差的方法，它不仅可以克服这些缺陷，而且也方便计算机编程，其公式为3、加权式（次数分布整理之后的方差计算）例3-：某班32名学生的创造性思维测验成绩如表4-3所示，试问该班学生创造性思维测验分数的平均差距是多少？或标准差是多少？表3-2学生创造性思维成绩分布表1）求各组次数与组中值的乘积（）及乘积和（），见表4-3的第4行。2）求平均数3）求各组的离均差（）及各组的离均差平方，见表4-3的第5行和第6行。4）

6、求各组的次数与离差平方的乘积及其连加和，见表3-2的第7行。5）代入公式，计算结果4、方差和标准差的组合若已知各组数据的方差或标准差计算总方差或总标准差，则需要进行方差或标准差的组合，其公式为方差标准差式中为小组方差，n为小组人数，d为组平均数与总平均数的离差（即）例：有四个学习小组参加英语竞赛，经初步统计四个学习小组竞赛成绩统计量如表3-3所示，试问其总平均数和总标准差是多少？表3-3四个学习小组英语竞赛成绩统计量分析过程1）求总平均数2）求离差d和离差的平方3）代入公式，计算结果（三）方差与标准差的性质1、每一个观察值都加一个相同常数c后，计算得到的标准差等于原标准差。2、每一个观

7、察值都乘以一个相同的常数c，则所得的标准差等于原标准差乘以这个常数。3、每个观察值都乘以同一个常数c（c不等于0），再加上一个常数d，所得标准差等于原标准差乘以这个常数。用途：1.反映变量值的离散程度；2.进行统计估计和假设检验；3.用于求正常范围；4.计算变异系数，标准分数和标准误等标准差的应用：异常值的取舍在一个正态分布中，平均数上下一定的标准差处，包含有确定百分数的数据个数。根据这个原理，在整理数据时：数据较多时：常采用三个标准差法则，进