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1、§1.1随机事件及其运算1.随机现象概率论的研究对象是随机现象。在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。只有一个结果的现象叫做确定性现象。随机现象随处可见。有的随机现象可以在相同条件下重复，如抛硬币，掷骰子，测量一物体的质量。也有很多随机现象是不能重复的，比如经济现象（如失业，经济增长速度等）大多不能重复.在相同条件下重复的随机现象的观察、记录、实验称为随机试验.概率论主要研究能重复的随机现象，但也十分注意研究不能重复的随机现象。2.样本空间数学理论的建立总是需要首先给出一些原始的无定义的概念（例如，“点”和“直线”是欧氏几何的公理化处理中无定义的概念）。在概率
2、论中，第一个“无定义”的原始概念是“样本点”，随机现象的基本结果称为样本点，用表示样本点；而随机现象的一切样本点组成的集合称为样本空间，记为.在具体的随机现象或试验中,有的凭“实际经验”可确定样本点和样本空间,有的需要“数学的理想化”去确定样本点和样本空间,样本点和样本空间的确定也与试验观察或记录的是什么有关.例1考虑试验:掷一骰子,观察出现的点数.根据“实际经验”,该试验的基本结果有6个:1,2,3,4,5,6,从而其样本空间为.例2考虑试验:观察一天內进入某商场的人数.一天內进入某商场的人数是非负整数,但由于不知道最多的人数和最少的人数,我们把该试验的样本空间“理想化”地
3、定为例3考虑试验:考察一个元件的寿命.为了数学上处理方便,我们把该试验的样本空间“理想化”地定为.例4对于试验:将一硬币抛3次.若我们记录3次正反情况,则样本空间为;若我们记录正面出现的次数,则样本空间为.-6-若样本空间中的元素个数是有限个或可列个,我们称此样本空间为离散样本空间.1.随机事件有了样本空间后,我们可给出随机事件的概念.直观上说,随机事件是随机现象中可能发生也可能不发生的事件.例如,在掷骰子试验中,“出现偶数点”是可能发生也可能不发生的,因此它是随机事件,而且当试验出现的基本结果是2或4或6时该事件就发生了,否则该事件就不发生.一个事件是否发生了应当能由试验出
4、现的基本结果判定,因此一个事件可以由能使其发生的那些基本结果组成.换言之,随机事件可以由一个或多个样本点组成的集合来表示.因此有下面概念.样本空间的子集称为随机事件,简称为事件,常用大写字母A,B,C,…表示.事件A发生当且仅当试验出现的基本结果属于A.若一事件是由单个样本点组成,则称该事件为基本事件;由2个或2个以上样本点组成的事件称为复合事件.由全体样本点组成的事件称为必然事件,必然事件就是样本空间本身.显然,必然事件是必定发生的事件.空集作为样本空间的子集也是事件,称此事件为不可能事件,不可能在任一次试验中都不会发生.以后在理论上讨论概率论问题时，我们总是假定样本空间已
5、经给定，而随机事件就是该样本空间的子集。而在实际问题中，随机事件常用语言描述（要用肯定的或否定的陈述句描述），至于样本空间是什么往往并不关注。比如，在摸某种福利彩色的试验中，那么“中一等奖”，“中二等奖”，…，“没中奖”都是随机事件，但该试验的样本空间并不清楚（要根据具体的摸彩票和中奖规则来定）。2.随机事件的关系与运算下面讨论总是假设在同一个样本空间中,事件间关系与运算与集合间的关系和运算相同，也有包含、相等等关系，并，交，差，余等运算。①包含发生事件是样本空间的子集，如果（或），称事件包含事件，记为或。若，则中的样本点必属于-6-，这就意味着事件发生则事件一定发生，反之若
6、事件发生则事件一定发生也意味着中的样本点必属于。因此“事件包含事件”等价于“事件发生必然导致事件发生”.例如在掷骰子试验中，事件=“出现偶数点”包含事件“出现4点”,即.事件“出现的点数至少为3”包含事件,而与事件没有包含关系.显然,对于任一事件,有.①相等关系若事件满足且,则称事件与相等,记为.用语言描述两个的事件相等时只是意味着用不同语言描述了同一事件.比如掷两颗骰子,事件“两颗骰子的点数之和为奇数”与事件“两颗骰子的点数为一个奇数一个偶数”相等.它们只是用不同语言描述了同一事件.③互不相容若事件与不能同时发生,则称事件与互不相容.事件与互不相容等价于与没有相同的样本点.
7、不可能事件与任何事件都是互不相容的.④事件的并事件是样本空间的子集,它们的并集也是样本空间的子集,因而也是一个事件,称此事件为事件与的并.易见事件发生当且仅当发生或发生或者与中至少有一个发生.因此事件与的并表示事件“与中至少有一个发生”.可推广至多个(有限或可列个)事件的并,比如表示事件“,,中至少有一个发生”.表示事件“,,…,中至少有一个发生”.表示事件“,,…,,…中至少有一个发生”.⑤事件的交事件是样本空间的子集,它们的交集也是样本空间的子集,因而也是一个事件,称此事件为事件与的交.易见事件发生
