第七章线性变换总结篇(高等代数)

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1、第7章线性变换7.1知识点归纳与要点解析一．线性变换的概念与判别1.线性变换的定义数域上的线性空间的一个变换称为线性变换，如果对中任意的元素和数域中的任意数，都有：，。注：的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。2.线性变换的判别设为数域上线性空间的一个变换，那么：为的线性变换3.线性变换的性质设是数域上的线性空间，为的线性变换，。性质1.;性质2.若线性相关，那么也线性相关。性质3.设线性变换为单射，如果线性无关，那么也线性无关。注：设是数域上的线性空间，，是中的两个向量组，如果：记：于是，若，是的一组基，是的线性变换，是中任意一组向量，如果：记：那么：设，是矩阵的列向量组，如

2、果是的一个极大线性无关组，那么就是的一个极大线性无关组，因此向量组的秩等于秩。4.线性变换举例（1）设是数域上的任一线性空间。零变换：；恒等变换：。幂零线性变换：设是数域上的线性空间的线性变换，如果存在正整数，使得，就称为幂零变换。幂等变换：设是数域上的线性空间的线性变换，如果，就称为幂等变换。（2）,任意取定数域上的一个级方阵，令：。（3），。（4），是中一固定矩阵，。二．线性变换的运算、矩阵1.加法、乘法、数量乘法（1）定义：设是数域上的线性空间，是的两个线性变换，定义它们的和、乘积分别为：对任意的，任取，定义数量乘积为：对任意的的负变换为：对任意的则、、与都是的线性变换。（2）={

3、为的线性变换}，按线性变换的加法和数乘运算做成数域上的维线性空间。2.线性变换的矩阵（1）定义：设是数域上的维线性空间，是的线性变换，是的一组基，如果：那么称矩阵为线性变换在基下的矩阵。此时：（2）线性变换的和、乘积、数量乘积、逆变换、负变换及线性变换多项式的矩阵：设是数域上的维线性空间的一组基，，设它们在下的矩阵分别为。1），是数域上的线性空间到数域上的线性空间的同构映射，因此。2）可逆可逆3）①、与在基下的矩阵分别为与；②任取，在基下的矩阵为；③若为可逆线性变换，则在基下的矩阵为；④设为数域上的任一多项式，那么（为的恒等变换）在基下的矩阵为：。三．特征值、特征向量与对角矩阵1.矩阵的

4、特征值与特征向量（1）矩阵的特征多项式：设为级复方阵，将多项式称为的特征多项式。注：1）若，则：2)将称为矩阵的特征矩阵，称为矩阵的特征方程。（2）定义：级方阵的特征多项式在复数域上的所有根都叫做其特征值（根），设是的特征值，齐次线性方程组的每个非零解都叫做矩阵的属于其特征值的特征向量。（3）求法：1）求在复数域上的所有根（重根按重数计算）；2）对解齐次线性方程组，得其一个基础解系（秩），则矩阵的属于特征值的全部特征向量为，其中为不全为零的任意常数（复数）。（4）重要结论：1）设是的特征值，是的属于其特征值的特征向量，为一复系数多项式。①为的特征值，为的属于特征值的特征向量；②如果还是可

5、逆矩阵，那么与分别为和的特征值，为的属于特征值的特征向量，为的属于特征值的特征向量，③若是矩阵的全部特征值，那么就是的全部特征值，如果还是可逆矩阵，则为的全部特征值，为的全部特征值；2）若是矩阵的全部特征值，那么，。2.线性变换的特征值与特征向量（1）定义：设是数域上的线性空间的线性变换，，若存在，使得，就称为的一个特征值，为的一个属于特征值的特征向量。（2）线性变换的特征多项式设是数域上的维线性空间的线性变换，任取的一组基，设在该基下的矩阵为，称矩阵为的特征多项式为的特征多项式，记为，即线性变换的特征多项式为其在任意基下矩阵的特征多项式。（3）求法：设是数域上的维线性空间的线性变换。1

6、）取定的一组基，求出在该基下的矩阵；2）求在中的所有根（，重根按重数计算，且表示无特征值）。3）若，对解齐次线性方程组，得其一个基础解系（秩），则线性变换的属于特征值的全部特征向量为，其中为中不全为零的任意常数。3.矩阵相似（1）定义：设是数域上的两个级方阵，如果存在数域上的级可逆矩阵，使得，就称矩阵相似于矩阵，记为。（2）性质：1）矩阵相似是等价关系，即：设都是级方阵，那么：①；②若，那么；③若且，则。2）若，那么，因此矩阵与矩阵有相同的特征值，相同的迹（），相同的行列式（）。3）两个实对称阵相似它们有相同的特征值。（3）有限维线性空间上的线性变换在不同基底下的矩阵彼此相似。（4）若，

7、那么。4.线性变换与矩阵可对角化（1）矩阵可对角化1）设是级方阵，如果存在级可逆矩阵，使得为对角阵，则称可对角化。2）级方阵可对角化有个线性无关特征向量。3）如果级方阵有个不同的特征值，则可对角化。4）设是级方阵的所有不同的特征值，称为的代数重数；称秩为的几何重数；；级方阵可对角化对都有的代数重数=的几何重数。注：1.设齐次线性方程组的解空间为，则2.称为级方阵的属于特征值的特征子空间，那么（2）线性变换可对角化1）设是数域上的维线