一类最优投资组合和消费率选择问题

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1、王光臣，吴臻．一类最优投资组合和消费率选择问题一类最优投资组合和消费率选择问题¨王光臣吴臻(山东大学数学与系统科学学院济南250100)E-mail：wguangchen_1588@sohu．comwuzhcn@sdu．edu．cn摘要：讨论了一类～个投资者在只有两种不同投资选择——股票和外汇存款情形下的最优投资组合和消费牢的选择问题．对“绝对风险厌恶(HARA)”情形的效用函数，给出了明确的最优投资组合和消费率。关键词：最优投资组合，绝对风险厌恶‘HA映’，H1巳亨程AProblemonOptimalPortfolioandConsumptionRa

2、teChoiceWangGuangchenWuZhen(CollegeofMathematicsandSystemSciences．ShandongUnivers妞Ji'nan，25010彤Abstract：Thispaperdiscussedaproblemonoptimalportfolioandconsumptionratechoicewhenaninvestorhasonlytwodifferentinvestments，oneisastock，theotherisaforeignexchangedepositTheexplicitoptima

3、lportfolioandconsumptionratesaTeobtainedAgainstmeutilityfunctionintheeaseofhyperbolicabsoluteriskaversion．Keywords：optimalportfolio；hyperbolicabsoluteriskaversion；HJBequation1引言在Mertonltl提出了连续时间下金融资产价格模型及Black．Schole公式口1的推广应用的影响下，近儿年来，金融数学这一交叉学科发展迅速，表现在衍生证券定价理论、金融市场均衡理论的发展完善及随机控

4、制理论在最优投资组合和消费率选择中的充分应用p】。本文讨论了一类晟优投资组合和消费率选择的最优控制问题。第二节中，针对一般情形的效用函数，给出了最优投资组合和消费率。在第三节中，讨论了一种重要的效用函数情形——“绝对风险厌恶(HARA)”情形，得到了明确的最优投资组合和消费率。假定投资者在金融市场中只有两种投资选择，一种投资股市。另一种是外汇存款，假定汇率价格服从过程de(t)=a(t)e(t)dt+t，(t)e(t)dB?(1)其中a(O是t时刻汇率的预期收益率，J(f)是波动率。占?是定义在概率空间∞，，，P，F)上的一维标准布朗运动．该种外汇存款

5、的价值服从普通微分方程出o(f)=r(t)so(t)dt(2)其中，so(t)可以取负值，即允许从银行贷款．我们假定t时刻该种外汇存款利率和贷款利率相等．均为一f)(贷款利率高于存款利率的情形是我们的另一研究工作)。令p(D=e(加(f)为将外汇转化成本国货币的价值，由Ito引理知d

6、P(f)=(口(f)+r(t))p(t)dt+8(t)p(t)dB?(3)而投资的股票的价格假定用如下过程描述ds(t)=b(t)s(t)dt+a(t)s(t)dB?(4)其中b(O是f时刻股票的预期收益率，a(t)是波动率，研是定义在同一概率空间位，F，P，f)上的一维

7、标准布朗运动。基金项I{_『：国家自然科学基金(10001022)和教育部优秀青年教师资助计划及高校博士点资助。第二十二届中国控制会议论文集——最优控制与优化分别用“f)，c(O，口(f)表示投资者总的财富过程、消费率过程和投资于股票的资产过程。c(t)，，r(t)适应于信息流E=口倒(●，霹(泅sssf)且满足r．皿p2(f)∞cm和研p2(咖】c*。我们允许股票卖空0O和从银行贷款，但两者均应有界。2最优投资组合和消费率选择假定∞，F，P，F『)是一概率空间，B?和砰分别是定义在此概率空间上的一维标准布朗运动。f=口{酬一叫，口≯彰；s≤r

8、s是初始时刻．假定交易和回报连续发生，投资者在任意时刻t能够自由选择消费和投资于股票的资产数，则投资者在t时刻总的财富的方程为【31d“f)=【0(f)+r(f))“f)一c(f)+(坂f)一(口(f)+r(f)))口(f)】df+(w(t)一z(f))占(f)dB?+x(t)cy(t)dB：∞)=w(5)如果关于Ⅵc，，r的财富过程州．)满足Ⅵ(f)≥0,t∈【o’刀，我们称(c，疗)在W是容许的，记作(c，月)EU。(w)。假定投资者想选择合适的(c，z)∈U。(w)，使得如下的期望效用最大，、0‘，【c，7r；s，wJ=E{Iu(t，c(f))d

9、f+占亿H乃))(6)J给出下面几个假定：(日1)系数r(f)，口(f)，6(f)，“f)’州