6微分方程数值解1

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1、第6章常微分方程初值问题数值解法6.1问题的描述和基本概念1、常微分方程初值问题l一般形式式中已知，称为初值条件.l初值问题的数值方法和数值解求函数在若干离散点上的近似值的方法称为初值问题的数值方法，而称为初值问题的数值解.212.建立数值解法的思想与方法微分方程初值问题的数值解法是用离散化方法将初值问题化为差分方程后再求解的方式.设节点为距离称为步长.求数值解一般是从开使逐次顺序求出.初值问题的解法有单步法和多步法两种：l单步法：计算时只用到一个值；l多步法：计算时要用多个值。数值解法还有显格式和隐格式之分。21l微分方程离散化方法主要有数值微分

2、法，数值积分法和Taylor展开法1)数值微分法由，用数值微分的2点前差公式代替，得近似离散化方程记，做，“”，得差分方程即（Euler公式）由初值条件及Euler公式可求出数值解.Euler公式是显式单步法.212）数值积分法在上对两边取定积分，得右端积分用左矩形公式（数值积分公式）得于是得到求初值问题的Euler方法21右端积分用右矩形公式（数值积分公式）得于是得到求初值问题的后退Euler方法后退Euler方法是隐式的.21右端积分用梯形公式（数值积分公式）得近似离散化方程：于是得到求初值问题的梯形方法该公式是隐式单步法.213）Taylor

3、展开法因为初值问题中函数是已知函数，由，可以计算，，…，于是有函数在处的Taylor展式取上式右端前若干项，得近似离散化方程.例如取前两项有于是又得到Euler公式：.213.数值解法的误差、阶与绝对稳定性单步法数学描述为显式：其中称为增量函数.21l显式单步法的一些概念定义1称为单步法在节点的整体截断误差，而称为在点的局部截断误差。表示解在的值，是准确值，没有误差；表示由数值解公式得出的近似值，是数值解，有截断误差.21l局部截断误差的理解假设在计算时没有误差（）下,计算出的（）与的误差(计算一步的误差）.定义2如果数值解法的局部截断误差为则称该

4、方法具有p阶精度或该方法是p阶方法.方法的阶越高，方法越好.21l局部截断误差的主项如果某方法是p阶方法，按可展为则称为局部截断误差的主项.在同阶方法中，局部截断误差的主项越小，方法越好.对Euler方法，有将在点展开，有故有Euler方法是一阶方法.21例1试求梯形方法的阶和局部截断误差主项.解该单步公式的局部截断误差是故局部截断误差主项是，方法是二阶的.21定义3设某种数值方法在上大小为的扰动，于以后各上产生的偏差均不超过，则称该数值方法是稳定的。通常用试验方程（为复数）来讨论求解数值方法绝对稳定性.Euler方法稳定性将Euler公式用于试验

5、方程，得到设计算时有误差则有得要想，只须，因此Euler方法在时是绝对稳定的，其绝对稳定域为复平面上以-1为中心的单位圆盘.绝对稳定区间为216.2Runge-Kutta方法称为级R-K方法.增量函数是21构造过程以来说明Runge-Kutta方法的构造方法和过程，对一般的Runge-Kutta方法可类似处理.的Runge-Kutta公式为式中，.引进符号，，，…由，可得，…在处做Taylor展开，有对在做二元Taylor展开，有由，有选21有局部截断误差，这样可得到二阶Runge-Kutta公式.取，则式（6.13）的解为，取不同的可得出不同的二

6、阶Runge-Kutta公式.如取时，得到改进的Euler公式时，得到中点公式21l经典Runge-Kutta公式四阶方法.21例1设初值问题为分别用Euler方法（），改进Euler方法（）和经典Runge-Kutta方法（）计算。解Euler方法计算格式（）为改进的Euler方法计算格式（）为21经典Runge-Kutta方法计算格式（）为它们的初值，计算结果及准确解列于下表Euler方法改进Euler方法经典R-K法000000.10.0963120.0951230.095162500.095162580.20.1833480.1811930

7、.181269100.181269250.30.2620010.2590850.259181580.259181780.40.3330790.3295630.329679710.3296799521例2给定初值问题1）分析求解公式的局部截断误差，指出它是几阶公式；2）证明用上面求解公式计算初值问题的数值解成立极限本题中的节点是等距节点，h为步长，n为由节点分割区间[a,b]的份数.21解由题意有1）局部截断误差将在点做Taylor展开到项，将在点做二元Taylor展开到项，则有得所用公式是2阶的.2）显然所给初值问题的准确解为。由给出的数值解计算公

8、式有故21式中21