6微分方程数值解课件

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1、第7章常微分方程初值问题数值解法本章探讨常微分方程特解的常用数值方法的构造和原理，主要介绍求常微分方程初值问题的常用方法和有关知识。重点论述Euler方法、Runge-Kutta方法和线性多步法的原理、构造、局部截断误差和稳定性等内容。1757.1实际案例工程技术里某些振动问题可以表示为单摆的运动，其运动规律的微分方程为：怎样求出其特解？该微分方程不能用通常的解析方法来求解！怎样解不能用解析方法求解的微分方程特解问题是本章要解决的问题。1757.2问题的描述和基本概念1、常微分方程初值问题l一般形式（7.1）式中已知

2、，称为初值条件。l初值问题的数值方法和数值解求函数在若干离散点上的近似值的方法称为初值问题的数值方法，而称为初值问题的数值解。1752.建立数值解法的思想与方法微分方程初值问题的数值解法是用离散化方法将初值问题化为差分方程后再求解的方式。设区间[a,b]上的一组节点为距离称为步长。求数值解一般是从开使逐次顺序求出。初值问题的解法有单步法和多步法两种。单步法：计算时只用到一个值；多步法：计算时要用多个值。数值解法的显格式和隐格式。175l微分方程基本的离散化方法数值微分法，数值积分法和Taylor展开法。l常微分方程初

3、值问题化为差分方程1、用离散方法去掉方程中的导数得到近似离散化方程；2、在近似离散化方程中用代替；3、在近似离散化方程中将近似号“”用等号“=”代替。1751)数值微分法由初值问题（7.1）有，用数值微分的2点前差公式代替，得近似离散化方程记，做，“”，得差分方程写容易计算的形式（7.2）（Euler公式）由初值条件及式（7.2）可求出（7.1）的数值解。公式（7.2）是显式单步法。1752）数值积分法在上对两边取定积分，得对右端积分采用梯形公式（数值积分公式）得近似离散化方程：于是得到求初值问题（7.1）的梯形方法

4、该公式是隐式单步法。1753）Taylor展开法因为初值问题中函数是已知函数，由，可以计算，，…，于是有函数在处的Taylor展式取上式右端前若干项，得近似离散化方程。例如取前两项有于是又得到Euler公式：1757.3数值解法的误差、阶与绝对稳定性单步法数学描述为显式：（7.4）隐式：（7.5）其中为与有关的函数，称为增量函数。175l显式单步法的一些概念定义7.1设是问题（7.1）的解，是经过式（7.4）求出的的计算解，则称为显式单步法（7.4）在节点的整体截断误差，而称（7.6）为在点的局部截断误差。表示解在的

5、值，是准确值，没有误差；表示由求数值解公式得出的近似值，是数值解，有截断误差；表示用计算机计算给出的计算解，有舍入误差。175l局部截断误差的理解假设在计算时没有误差（）下，由式（7.4）计算出的（）与的误差。整体截断误差还要加上与的误差。考察初值问题解法的优劣，引入阶的概念。定义7.2如果初值问题（7.1）对某种数值解法的局部截断误差为则称该方法具有p阶精度或该方法是p阶方法。方法的阶越高，方法越好。175主局部截断误差或局部截断误差的主项如果某方法是p阶方法，若其局部截断误差按展开为则称为主局部截断误差。在同阶方

6、法中，主局部截断误差越小，方法越好。例7.1常微分方程初值问题的单步法为试求其局部截断误差主项并回答它是几阶精度的？175解该单步公式的局部截断误差是故局部截断误差主项是，方法是一阶的。175l求阶p的另一方法因为去掉下标，有若将在x点展开有则知该方法的阶是p。175例如，对Euler方法，有那么将在x点展开，有故有因此，Euler方法是一阶方法。175定义7.3设用某种数值方法求初值问题（7.1）在任意节点的数值解时，满足，则称该数值方法是绝对稳定的。这里是计算机计算时得出的计算解的舍入误差，。通常用试验方程（为复

7、数）来讨论求解初值问题的数值方法绝对稳定性；对具体初值问题，可取。稳定性常与步长h有关。175定义7.4某方法在试验方程中绝对稳定的复平面范围称为该方法的绝对稳定域，它与复平面实轴的交称为该方法的绝对稳定区间。绝对稳定域包含复平面左半平面的方法称为是A-稳定的。绝对稳定域越大，对应的方法绝对稳定性越好。1757.3Euler方法的有关问题用Euler公式，求解初值问题（7.1）数值解的方法称为Euler方法。1)Euler方法的几何意义Euler方法常称为折线法。2)Euler方法的误差设为的计算解，满足其中。则有E

8、uler方法的局部截断误差；175Euler方法的总体截断误差由，,有因为对任意m都有，可得由k的任意性，可知Euler方法的总体截断误差为当h足够小时，由Euler方法计算所得数值解可以很好地逼近准确解，从而Euler方法是收敛的。1753)Euler方法稳定性将Euler公式用于试验方程，得到（7.8）设计算时有舍入误差，则有得要想，只须，