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1、教学目的1.掌握解非线性方程（组）的二分法和插值法；2.掌握解非线性方程（组）的一般迭代法及有关收敛性的证明与牛顿法；3.掌握解非线性方程（组）的牛顿法4.了解加速收敛的方法。教学重点及难点重点是解非线性方程（组）的牛顿法；难点是迭代法的收敛性的证明。第6章非线性方程和方程组 的数值解法代数方程求根问题是一个古老的数学问题.早在16世纪就找到了三次，四次方程的求根公式.但直到19世纪才证明了n≥5次的一般代数方程式不能用代数公式求解.因此需要研究用数值方法求得满足一定精度的代数方程式的近似解.而在工程和科学技术中许多问题常归结为求解非线性方程式问题。例如在控制
2、系统的设计领域中，在研究人口增长率等问题中都最后可化为方程求根的问题。第6章非线性方程和方程组 的数值解法6.1引言在科学研究和工程设计中,经常会遇到的一大类问题是非线性方程f(x)=0(6.1)的求根问题，其中f(x)为非线性函数。方程f(x)=0的根,亦称为函数f(x)的零点如果f(x)可以分解成,其中m为正整数且,则称x*是f(x)的m重零点,或称方程f(x)=0的m重根。当m=1时称x*为单根。若f(x)存在m阶导数,则是方程f(x)的m重根(m>1)当且仅当当f(x)不是x的线性函数时，称对应的函数方程为非线性方程。如果f(x)是多项式函数，则称为代
3、数方程，否则称为超越方程（三角方程，指数、对数方程等）。一般称n次多项式构成的方程为n次代数方程,当n＞1时,方程显然是非线性的.一般稍微复杂的3次以上的代数方程或超越方程,很难甚至无法求得精确解。本章将介绍常用的求解非线性方程的近似根的几种数值解法.通常方程根的数值解法大致分为三个步骤进行①判定根的存在性。即方程有没有根？如果有根，有几个根？②确定根的分布范围。即将每一个根用区间隔离开来，这个过程实际上是获得方程各根的初始近似值.③根的精确化。将根的初始近似值按某种方法逐步精确化，直到满足预先要求的精度为止.本章介绍方程的迭代解法，它既可以用来求解代数方程，
4、也可以用来解超越方程，并且仅限于求方程的实根。运用迭代法求解方程的根应解决以下两个问题：确定根的初值;将进一步精确化到所需要的精度。6.2二分法二分法又称二分区间法,是求解方程(2.1)的近似根的一种常用的简单方法。设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)f(b)<0,根据连续函数的性质可知,f(x)=0在(a,b)内必有实根,称区间[a,b]为有根区间。为明确起见,假定方程f(x)=0在区间[a,b]内有惟一实根x*。二分法的基本思想是:首先确定有根区间,将区间二等分,通过判断f(x)的符号,逐步将有根区间缩小,直至有根区间足够地小,便可求出满足精
5、度要求的近似根。确定有根区间的方法为了确定根的初值，首先必须圈定根所在的范围，称为圈定根或根的隔离。在上述基础上，采取适当的数值方法确定具有一定精度要求的初值。对于代数方程，其根的个数（实或复的）与其次数相同。至于超越方程，其根可能是一个、几个或无解，并没有什么固定的圈根方法求方程根的问题，就几何上讲,是求曲线y=f(x)与x轴交点的横坐标。由高等数学知识知,设f(x)为区间[a,b]上的单值连续,如果f(a)·f(b)<0,则[a,b]中至少有一个实根。如果f(x)在[a,b]上还是单调地递增或递减，则仅有一个实根。由此可大体确定根所在子区间，方法有：(1)
6、画图法(2)逐步搜索法y=f(x)abyx(1)画图法画出y=f(x)的略图，从而看出曲线与x轴交点的大致位置。也可将f(x)=0分解为1(x)=2(x)的形式，1(x)与2(x)两曲线交点的横坐标所在的子区间即为含根区间。例如xlogx-1=0可以改写为logx=1/x画出对数曲线y=logx,与双曲线y=1/x,它们交点的横坐标位于区间[2,3]内(1)画图法023yx对于某些看不清根的函数，可以扩大一下曲线y0xy=f(x)y=kf(x)(1)画图法y0xABa1b1a2b2(2)逐步搜索法(2)搜索法对于给定的f(x),设有根区间为[A,B],
7、从x0=A出发,以步长h=(B-A)/n(n是正整数),在[A,B]内取定节点:xi=x0＋ih(i=0,1,2,…,n),从左至右检查f(xi)的符号,如发现xi与端点x0的函数值异号,则得到一个缩小的有根子区间［xi-1,xi］。例1方程f(x)=x3-x-1=0确定其有根区间解：用试凑的方法，不难发现f(0)<0f(2)>0在区间（0,2）内至少有一个实根设从x=0出发,取h=0.5为步长向右进行根的搜索,列表如下xf(x)00.51.01.52–––++可以看出，在[1.0,1.5]内必有一根用逐步搜索法进行实根隔离的关键是选取步长h要选择适当h，使之
8、既能把根隔离开来，工作量又不太大。为获
