学法指导—构造函数证明不等式

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1、构造函数证明不等式一、引例1．证明：证明：设即思考1：证明：思考1证明：由1知设2当时，证明：。2证明：令，由知∴当时，单调递增∴于是令，由知∴当时，单调递增∴于是∴9思考2：已知函数，各项不为零的数列满足，（1）求证：；（2）设，为数列的前项和，求证：。思考2（1）由已知可得，当时，两式相减得∴或当时，，若，则这与矛盾∴∴于是，待证不等式即为。为此，我们考虑证明不等式令则，转化为题2即（2）由（1）可知则在中令，并将各式相加得即二例解（1）基于函数关系证明3、函数，若在单调增加，在单调减少，证明：＜6.证明：由条件得：从而由条件得9所以将右边展开，与左边比较系数得，

2、故又由此可得21世纪教育网于是（2）基于比较法构建函数4设，对任意实数，记．求证：当时，对任意正实数成立；4证明：方法一：令，则，由，，得，当时，，所以在内的最小值是．故当时，对任意正实数成立．方法二：对任意固定的，令，则，由，得．当时，．当时，，所以当时，取得最大值．因此当时，对任意正实数成立．（3）基于最值法构建函数5已知函数(x>0)，f(x)的导函数是，对任意两个不相等的正数、，9求证：当时，.5证明：证法一：由，得∴下面证明对任意两个不相等的正数，有恒成立英才苑即证成立∵设，则令得，列表如下：极小值∴∴对任意两个不相等的正数，恒有证法二：由，得∴∵是两个不相

3、等的正数∴9设，则，列表：极小值∴即∴YCY即对任意两个不相等的正数，恒有（4）基于结构的对称性构建函数6设函数(其中)的图象在处的切线与直线平行.(1)求的值；(2)求函数在区间[0,1]的最小值；(3)若,,,且,试根据上述(1)、(2)的结论证明:.6解：(1)因为,所以解得m=－1或m=－7(舍),即m=－1(2)由,解得列表如下:x0(0,)(,1)1－＋f(x)2↘↗2所以函数在区间[0,1]的最小值为9(3)因为由(2)知,当x∈[0,1]时,,所以,所以当,,,且时,,,,所以又因为,所以故(当且仅当时取等号)（5）基于题设条件构建函数7设是方程的实数

4、根，函数的导数满足.求证：对于定义域中任意的，当，且时，.7解：不妨设，因为所以为增函数，所以，又因为，所以函数为减函数，所以，所以，即，所以.（6）基于不等式，派生出新的不等式8已知函数（其中为自然对数的底）．（Ⅰ）求函数的最小值；（Ⅱ）若，证明：．8解：（Ⅰ）因为，所以．显然，当时，；当时，．因此，在上单调递减，在上单调递增．9因此，当时，取得最小值；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知：当时，有，即，故（），从而有．练习1、已知函数，（1）求函数的最小值；（2）若，求证：．解：（1）=，………………2分当时，，所以当时，，则函数在上单调递增，所以函数的最小值；……………………

5、……5分（2）由（1）知，当时，，∵，∴，①……7分∵，∴②………………………10分由①②得…………………………12分2、已知函数f(x)=x－ax+(a－1)，。9（1）讨论函数的单调性；（2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。解：(1)的定义域为。2分（i）若即,则故在单调增加。(ii)若,而,故,则当时，;当及时，故在单调减少，在单调增加。(iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.(II)考虑函数则由于1

6、.9证明:(Ⅰ)先用数学归纳法证明,.（1）当n=1时,由已知得结论成立;（2）假设当n=k时,结论成立,即.则当n=k+1时,因为0g(0)=0.因为,所以,即>0,从而(Ⅲ)因为,所以,,所以————①,由(Ⅱ)知:,所以=,因为,n≥2,所以<<=————②.

7、由①②两式可知:.9