《医学高等数学》PPT课件

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1、研究的基础函数极限连续—研究对象—研究方法—研究桥梁第一章函数、极限与连续在某一变化过程中始终保持相对静止状态的量称为常量；时时处于变化着的量成为变量。前者记为a,b,c等，后者记为x,y,t等。1.1函数1.1.1函数的概念一、常量与变量设在某个变化过程中存在两个变量x,y,若对于某一非空数集中的每一个x值,按照某一确定的关系f都有唯一一个实数y与之对应,则称变量y是变量x的函数,记为二、函数的概念[定义1]定义域f(D)称为值域函数图形:自变量因变量二是在定义域范围内,变量x与y有确定的对应关系,这两个要素决定值域R。理解：函数的定义有两个要素：一是自

2、变量x必须有明确的定义域D；如果两个函数相等,则这两个要素必须完全相同。思考：两个函数是否相等？例1求下列函数的定义域：解：即因此f(x)的定义域为:约定:定义域是自变量所能取的使算式有(实际)意义的一切实数值.例3已知函数求。解：令x+1=t，则x=t-1，将其代入原式，即得例2已知函数,求解：邻域:所谓是指如果x0是实数轴上一点，δ为正实数，则开区间-δ

3、f(x1)f(x2))，则称函数在区间I上是单调增加（或单调减少）的。单调增加函数对应的曲线随自变量x的逐渐增大而上升；单调减少函数对应的曲线随自变量x逐渐增加而下降。单调函数图像的特点是：设函数f(x)的定义域为D,如果对D内任意一点x(-x∈D),都满足f(x)=f(-x),则称函数f(x)在D内是偶函数;若函数f(x)对定义域D内任意一点x，都满足f(x)=-f(x),则称函数在D内是奇函数。二、奇偶性函数y=x2是在其定义域(-∞,+∞)上是偶函数;函数y=sinx是在其定义域(-∞,+∞)是奇函数;函数y=sinx+c

4、osx在其定义域(-∞,+∞)上非奇非偶.偶函数yxox-x奇函数yxox-x偶函数的图像是关于y轴对称奇函数的图像是关于原点对称设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个正数M,使得对于D中某一个子区间I内任意一点x,总有

5、f(x)

6、≤M(即-M≤f(x)≤M),则称函数在I上是有界的，否则是无界的。三、有界性oyxM-My=f(x)I有界(2)有界与否是和I有关的.(1)当一个函数有界时，它的界是不唯一的.注意:如sinx、cosx对区间(-∞,+∞)上任意一点x,存在M=1,使得所以它们在区间(-∞,+∞)上都是有界函数。lnx在区间(0,+∞)上为无

7、界函数,因为找不到那样一个正数M,使成立。如f(x)=1/x在开区间(0，1)上是无界的,但在闭区间[1,2]上却是有界函数,因为在此区间上能找到M≥1,使当x∈[1,2]时,成立。设函数的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对于任意一点x∈D,f(x+T)=f(x)恒成立,则称f(x)在D上为周期函数,T称为的周期。通常所说的周期是指最小正周期。四、周期性周期函数的图像特点是在这函数的定义域内,每个长度为周期T的区间上,函数所对应的曲线有相同的形状。xyT/2-T/23T/2-3T/2o1.1.3初等函数一、基本初等函数基本初等函数通常是指幂函数、指

8、数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。(1)幂函数α是常数,取值不同函数的定义域不同y=xy=1/xy=x2(2)指数函数0112341-1(3)对数函数a>10

9、和u=φ(x)，且u=φ(x)的值域全部在y=f(x)的定义域内，则称y=f[φ(x)]是由这两个函数经过中间变量u而构成x的复合函数，其中x为自变量，简称函数y=f[φ(x)]是x的复合函数。【定义2】例如,函数可分解为函数又如函数也可分解成：理解：1.两个函数复合要满足复合条件；2.中间变量可以多个；3.复合函数分解不唯一。【定义3】由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而构成并可以用一个式子表示的函数称为初等函数。三、初等函数例如多项式函数双曲正弦函数、双曲余弦函数等等都是初等函数。又如,可表为故为初等函数.非初等函数举例:符号函数当x>

10、0当x=0当x<0在定义域内不同的区间上,由不同解析式所表示的函数