談“特殊與一般”

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1、談“特殊與一般”數學（或其他科學）中有許多“發現”，大都萌芽於簡單的事實，或特殊的問題，再經過概括、抽象、歸納、逐步改進、推演而得到的。即“特殊”中常蘊含“一般”“一般”中必包含“特殊”“特殊與一般”相輔相成。一、“特殊”中蘊含“一般”我們透過一些例題來闡釋由特殊到一般。《例1》yx0P(a,b)θr銳角三角函數→一般三角函數yx0P(a,b)θrcBbaCAθ﹙說明﹚1.有向角θ的終邊任取異於原點O的一點P﹙a,b﹚令r＝，則；2.取r＝＝1，則sinθ＝b＝sinαcosθ＝a＝cosα《例2》從（實數）2≧0出發，設a、b是任

2、意實數，則D（a－b）2≧0←→ab≦a2＋b2……（A）F當a、b＞0時，（A）式的幾何意義如下：E矩形OADB的面積＝ab（ΔOAE的面積）＋（ΔOBF的面積）＝a2＋b213ab比少了ΔDEF的面積。如果直線y＝x改成其他曲線，比如冪函數y＝xc（c＞0）顯然矩形OADB的面積（ab）≦（曲邊三角形OAE面積）＋（曲邊三角形OBF面積）＝……（B）當曲線y＝xc通過D（a,b）點時“等號”成立（b＝ac）在（B）式右邊，取p＝c＋1，p’＝，則ab≦……（C）其中p＞1且（此處a、b＞0）（C）式稱為Hőlder不等式。“等號

3、”在ap＝bp’時成立。﹙註﹚1﹒設a、b＞0，則是實數，由（）2≧0得2﹒設a1、a2、…、an＞0，則﹙Ⅰ﹚n＝2時，成立－－－（1）﹙Ⅱ﹚設n＝k時（k≧2），成立－－－（2）則n＝k+1時，令k－1個A＝，則A＝＝13由（1）≧由（2）≧＝∴故3．對任意2n個非負實數a1、a2、…、an；b1、b2、…、bn，及p＞1，令，代入得對i從1到n求和再利用得到Hőlder不等式當p＝2（此時p’＝2）時，它就是Cauchy不等式底下我們再談〝以簡御繁〞的例題。從「（a－b）2＝0導出a＝b」這個簡單的事實出發。若a12＋a22=

4、1———（1）b12＋b22=1———（2）a1b1＋a2b2=1———（3）則a1＝b1，a2＝b2（證明）（1）+（2）－2×（3）得到（a1－b1）2＋（a2－b2）2＝0∴a1＝b1，a2＝b2。（註）從向量觀點看這個問題，更可以突顯它的幾何意義：，13（1）、（2）告訴我們：＝1（3）又顯示1＝＝cosα，夾角α＝0°故兩向量相等，。事實上，兩個向量只要滿足：＝（）那麼∴，即《例3》設a，b，且，試求a2＋b2＝？（解）因故得∴a2＋b2＝1《例4》設3cosθ＋4sinθ＝5，求tanθ＝？（解一）因cos2θ＋sin2

5、θ＝1故cosθ＝，sinθ＝所以tanθ＝（解二）利用疊合法acosθ＋bsinθ＝3cosθ＋4sinθ＝5（cosθ＋sinθ）＝5（cosαcosθ＋sinαsinθ）＝5cos（θ－α）13∴3cosθ＋4sinθ＝5cos（θ－α）其中定角α為（cosα，sinα）＝（，）原題化成cos（θ－α）＝1∴θ－α＝0°，θ＝αcosθ＝cosα＝，sinθ＝sinα＝，tanθ＝（解三）3cosθ＋4sinθ＝5可想成：點P（cosθ，sinθ）分別在單位圓C：x2＋y2＝1－－－－（1）直線l：3x＋4y＝5－－－－（2）

6、上，由圓心到l的距離等於半徑，得知l與C相切於P（cosθ，sinθ）點，即l是通過切點P的切線，其方程式為l：（cosθ）x＋（sinθ）y＝1－－－－（3）（2）、（3）表同一直線，故方程式的對應項係數成比例P（cosθ，sinθ）＝（，）故tanθ＝《例5》若，則？（解）因cos2β＋sin2β＝1（cosβ）＋（sinβ）＝1故cosβ＝，sinβ＝，即cos2α＝cos2β，sin2α＝sin2β於是＝1（類似題）若，求＝？《例6》求一切實數x，使得（1998加拿大IMO試題）13（解）由題意知x＞0，原式可化成又故解之並

7、且驗根得x＝。＝（類似題）解方程式（提示：顯然x≠0，原式可化成）《例7》設a、b、c，x、y、z都是實數，若a2＋b2＋c2＝25x2＋y2＋z2＝36ax＋by＋cz＝30試求＝？（解一）因∴，，即13故＝（解二）向量、之終點分別同心球S1：x2＋y2＋z2＝52、S2：x2＋y2＋z2＝62上，又因30＝∴cosα＝1，α＝0°，即（r＞0）由、，得r＝即（x，y，z）＝等式：「」的應用非常廣泛，它可以處理●〝單位分數〞的拆解問題●〝連續自然數乘積〞之倒數和問題………《例8》求出下列方程式中，所有〝相異正整數解x、y〞。1.2

8、.（解）不妨談x＜y。1.由＜及知7＜x＜14令x＝7+k（k＝1，2，3，…6）分別帶入原式求yx＝8→＝－＝－＝∴＝＋x＝9→＝－＝不能化為〝單位分數〞x＝7+k（1＜k＜6）→＝－＝－＝因7是質數，故（k，7）＝1，（k，7+k