计算物理随机游走

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1、2-6随机游走1906年Perrson提出，随机游走是一种基于运用[0,1]区间的均匀分布随机数序列来进行的计算。1一Brown运动1827年植物学家Brown观察到水中的花粉等颗粒可以不停的作无规则运动。由于Brown颗粒的质量远较液体的分子大，我们将颗粒看成是一个巨分子，它不停地受到周围环境中液体分子的碰撞，这种碰撞的频率为每秒1019次，因此我们观察到的Brown颗粒的运动是大量碰撞的涨落的结果，它是一种完全无规则的随机运动。2在描述Brown运动时，我们将影响系统在相空间中轨迹的随机力应用于决定性运动方程，也就是把液体分子的自由度凝缩为仅用随机力代表。1907年由Langevin提

2、出的Brown运动方程：Fx为涨落力3对颗粒总数进行平均：涨落力平局值为零由于指数项的幂系数非常大，α/m≈107秒-1，当时间t=10-6秒时指数项可以忽略。将起始点放在原点，c2=0D为扩散系数。4二醉汉行走问题xOPerson在1905年发表于《Nature》的论文中提出的：“一个人从θ点出发，沿直线走了l码，然后他转了一个角度后由沿第二条直线走了l码，他重复了n次这样的过程。我想求出n次过程后此人位于离开起始点r到r+dr距离内的概率”5x醉汉的步长为1向右行走的一步的几率为p=0.5O向左走一步的几率为q=1-p=0.5向右走了nR步，向左走了nL总共走了n=nR+nL步67三扩

3、散的物理扩散是由于粒子浓度梯度的存在▽ρ形成粒子往低浓度区域迁移的趋势，单位时间内通过某一方向垂直截面的粒子数即为粒子流密度：由粒子数守恒的Liouvill连续性方程：p(x,t)dx为粒子在t时刻存在于x-x+dx之间的概率：8任意函数的平均值可以表示为：╳x，再积分。右边分布积分再代入边界条件：=09由于在t=0时，粒子在原点处，从而粒子位置的平均值是不随时间变化的。╳x2，再积分。该结果与Brown运动方程完全一致，说明Brown运动或RW模型的随机行走就是描述了扩散的物理过程。10pro=0.5doi=1,nwalkx=0.0d0doj=1,nstepcallrandomnum()

4、if(rand.lt.pro)thenx=x+1.0elsex=x-1.0endifwrite(10,'(I15,F15.6)')j,xsumx(j)=sumx(j)+xsumx2(j)=sumx2(j)+x*xenddoenddodoi=1,nstepwrite(11,'(I15,2F15.6)')$i,sumx(i)/dble(nwalk),sumx2(i)/dble(nwalk)enddo1112若泊松方程及其边界条件为四蒙特卡罗方法求解泊松方程Γ为求解区域D的边界，s为边界Γ上的点。其中，q0是在区域D的正则内点0上的函数q(x,y)的值。正方形格点划分等步长h13其中，1/4可以

5、解释为概率。即有：随机游走的判据：(0)选定一个[0,1]区间的均匀分布的随机数ξ，(1)若满足条件ξ≤1/4，则选定下一个游走到达点为第1点；(2)若满足条件1/4<ξ≤1/2，选游走到的下一个点为2点；(3)若满足条件1/2<ξ≤3/4，选定游走到下一个点为3点；(4)ξ在其他的情况下，我们则选游走到第4点。14从m点上又按判据选择周围四个点中的n点时，m点函数的估计值为:如果我们按上面的判据选择了0点周围四个点中之一m点，则0点函数的估计值为：此时0点函数的估计值也可以写为：15若按照以上随机游走的步骤，有：当第J步到达边界，边界上的函数值记为我们就可以得到0点上的函数Φ0的一个估计

6、值：上标(1)表示第一次从0点出发游走时经历J步到达边界S点时对应函数Φ0的一个估计值。16其中，如此反复从0点开始进行N次上述的随机游走，我们得到一个函数的估计值序列：则0点的函数Φ0的期望值为Φ0估计值序列的方差为：以上随机游走的做法，是个人为的概率过程，是一个具有吸收壁的随机游走。17上述类型的随机游走或链(chain)具有如下特征：马尔可夫(Markov)过程：它在游走中任一阶段的行为都不被先前游走的历史所限制，即区域内的点可以被多次访问，这种随机游走过程叫作马尔可夫(Markov)过程。又因为游走最终会终止在边界上，故而该类随机游走又被称为马尔可夫链。自规避随机游走：在随机游走的

7、过程中，任何一个的游走概率都要考虑前面游走的历史，因而游走有可能碰到边界前就被强行终止掉。马尔可夫链正是这样生成相继各个状态的，使得后一个状态是由前一个状态和确定的分布所决定。由此可知相继的各状态之间的确存在着关联。所以，马尔可夫链是分子动力学中有运动方程生成的轨道在概率方面的对应物。18在随机游走的蒙特卡洛方法中，有一种最常用方法称为Metropolis方法。它是前面介绍过的重要抽样法的一个特殊情况。采用此方法可以产生