计算物理 随机游走

《计算物理 随机游走》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2-6随机游走1906年Perrson提出，随机游走是一种基于运用[0,1]区间的均匀分布随机数序列来进行的计算。1一Brown运动1827年植物学家Brown观察到水中的花粉等颗粒可以不停的作无规则运动。由于Brown颗粒的质量远较液体的分子大，我们将颗粒看成是一个巨分子，它不停地受到周围环境中液体分子的碰撞，这种碰撞的频率为每秒1019次，因此我们观察到的Brown颗粒的运动是大量碰撞的涨落的结果，它是一种完全无规则的随机运动。2在描述Brown运动时，我们将影响系统在相空间中轨迹的随机力应用于决定性运动方程，也就是把液体分子的自由度

2、凝缩为仅用随机力代表。1907年由Langevin提出的Brown运动方程：Fx为涨落力3对颗粒总数进行平均：涨落力平局值为零由于指数项的幂系数非常大，α/m≈107秒-1，当时间t=10-6秒时指数项可以忽略。将起始点放在原点，c2=0D为扩散系数。4二醉汉行走问题xOPerson在1905年发表于《Nature》的论文中提出的：“一个人从θ点出发，沿直线走了l码，然后他转了一个角度后由沿第二条直线走了l码，他重复了n次这样的过程。我想求出n次过程后此人位于离开起始点r到r+dr距离内的概率”5x醉汉的步长为1向右行走的一步的几率为p=

3、0.5O向左走一步的几率为q=1-p=0.5向右走了nR步，向左走了nL总共走了n=nR+nL步67三扩散的物理扩散是由于粒子浓度梯度的存在▽ρ形成粒子往低浓度区域迁移的趋势，单位时间内通过某一方向垂直截面的粒子数即为粒子流密度：由粒子数守恒的Liouvill连续性方程：p(x,t)dx为粒子在t时刻存在于x-x+dx之间的概率：8任意函数的平均值可以表示为：╳x，再积分。右边分布积分再代入边界条件：=09由于在t=0时，粒子在原点处，从而粒子位置的平均值是不随时间变化的。╳x2，再积分。该结果与Brown运动方程完全一致，说明Brown

4、运动或RW模型的随机行走就是描述了扩散的物理过程。10pro=0.5doi=1,nwalkx=0.0d0doj=1,nstepcallrandomnum()if(rand.lt.pro)thenx=x+1.0elsex=x-1.0endifwrite(10,'(I15,F15.6)')j,xsumx(j)=sumx(j)+xsumx2(j)=sumx2(j)+x*xenddoenddodoi=1,nstepwrite(11,'(I15,2F15.6)')$i,sumx(i)/dble(nwalk),sumx2(i)/dble(nwalk)

5、enddo1112若泊松方程及其边界条件为四蒙特卡罗方法求解泊松方程Γ为求解区域D的边界，s为边界Γ上的点。其中，q0是在区域D的正则内点0上的函数q(x,y)的值。正方形格点划分等步长h13其中，1/4可以解释为概率。即有：随机游走的判据：(0)选定一个[0,1]区间的均匀分布的随机数ξ，(1)若满足条件ξ≤1/4，则选定下一个游走到达点为第1点；(2)若满足条件1/4<ξ≤1/2，选游走到的下一个点为2点；(3)若满足条件1/2<ξ≤3/4，选定游走到下一个点为3点；(4)ξ在其他的情况下，我们则选游走到第4点。14从m点上又按判据选

6、择周围四个点中的n点时，m点函数的估计值为:如果我们按上面的判据选择了0点周围四个点中之一m点，则0点函数的估计值为：此时0点函数的估计值也可以写为：15若按照以上随机游走的步骤，有：当第J步到达边界，边界上的函数值记为我们就可以得到0点上的函数Φ0的一个估计值：上标(1)表示第一次从0点出发游走时经历J步到达边界S点时对应函数Φ0的一个估计值。16其中，如此反复从0点开始进行N次上述的随机游走，我们得到一个函数的估计值序列：则0点的函数Φ0的期望值为Φ0估计值序列的方差为：以上随机游走的做法，是个人为的概率过程，是一个具有吸收壁的随机游

7、走。17上述类型的随机游走或链(chain)具有如下特征：马尔可夫(Markov)过程：它在游走中任一阶段的行为都不被先前游走的历史所限制，即区域内的点可以被多次访问，这种随机游走过程叫作马尔可夫(Markov)过程。又因为游走最终会终止在边界上，故而该类随机游走又被称为马尔可夫链。自规避随机游走：在随机游走的过程中，任何一个的游走概率都要考虑前面游走的历史，因而游走有可能碰到边界前就被强行终止掉。马尔可夫链正是这样生成相继各个状态的，使得后一个状态是由前一个状态和确定的分布所决定。由此可知相继的各状态之间的确存在着关联。所以，马尔可夫链

8、是分子动力学中有运动方程生成的轨道在概率方面的对应物。18在随机游走的蒙特卡洛方法中，有一种最常用方法称为Metropolis方法。它是前面介绍过的重要抽样法的一个特殊情况。采用此方法可以产生