《M37晶格比热容》PPT课件

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1、3.7晶格比热容晶格振动的研究始于固体热容研究，19世纪初人们就通过Dulong-Petit定律认识到：热容量是原子热运动在宏观上的最直接表现，然而直到20世纪初才由Einstein用Plank量子假说解释了固体热容为什么会随温度降低而下降的现象（1907年），从而推动了固体原子振动的研究，1913年玻恩(Born，1954年Nobel物理学奖获得者)和冯卡门（Von-Karman)发表了论晶体点阵振动的论文，首次使用了周期性边界条件，但他们的研究当时被忽视了，因为同年发表的更为简单的Debye热容理论（弹性波近似）已经可

2、以很好的说明当时的实验结果了，但后来更为精确的测量却表明了Debye模型不足，所以1935年Blakman才重新利用Born和Von-Karman近似讨论晶格振动，发展成现在的晶格动力学理论热容是固体原子热运动在宏观性质上的最直接体现，因而对固体原子热运动的认识实际上首先是从固体热容研究开始的，并得出了原子热运动能量是量子化的这个无可争辩的结论。我们讨论固体热容仍是以揭示原子热运动特征为目的，而完整地介绍热容统计理论应是统计物理的内容。固体热容由两部分组成：一部分来自晶格振动的贡献，称为晶格热容；另一部分来自电子运动的贡献

3、，称为电子热容。除非在极低温度下，电子热容是很小的（常温下只有晶格热容的1%）。这里我们只讨论晶格热容。一、声子态密度在温度下，晶格的平均热能是其中，平均声子数(T,q,)晶格的比定容热容其中，代表模式为的声子对晶格比热容的贡献声子态密度由于在空间准连续分布，且，对的求和可以用积分代替形式上可写为：声子态密度，单位频率间隔内的模式数，满足总模式数等于总自由度数声子态密度利用函数的筛选性质，可写为表示从模式中筛选出频率为的模式由于s=1,2,…,3n，，声子态密度在q空间频率相等的所有模式处于一系列连续的曲面，称为等频率面

4、由于，由上式可以看出：在ω(q)对q的梯度为0的地方，ω(q)应显出某种奇异性。称的点为范霍夫奇点（vonHovesingularity）。范霍夫奇点是与晶体对称性相联系的，常常出现在布里渊区的某些高对称点上。对不同维数的声子态密度一维单原子链声子态密度因为所以长波极限或者连续介质极限下：？0一维双原子链声子态密度范霍夫奇点长声学波或弹性波：ω=vgq由于波的传播速度与传播方向q无关，在q空间等频面是球面，所以有：(ω)ωg(ω)ω态密度曲线呈抛物线变化是弹性波的标志。在实际计算弹性波态密度时，要注意晶体的弹性波速度是方

5、向的函数，例如立方晶系有：之分。公式中声速应是几种声速的平均值，考虑到每个q支对应3支色散关系，弹性波的态密度函数应表示为：弹性波近似下的态密度：ω=vgq实际晶体的态密度：晶体的态密度函数原则上可以从理论上通过上述公式计算，先求出每支色散曲线相应的态密度：每个原胞有n个原子的晶体的总的态密度函数是：右图是金属Al的晶格振动态密度合成图，总态密度是两支横波和一支纵波的叠加。Cu晶体的总振动态密度函数谱可以明显看出铜晶体的态密度函数，低频部分呈抛物线形状，这和色散曲线低q部分接近弹性波线性关系是一致的。比定容热容比定容热容形

6、式上可写为：声子态密度，单位频率间隔内的模式数，满足总模式数等于总自由度数主要介绍Dulong-Petit定律Einstein模型Debye模型晶体振动模型（理论化）经典理论（Dulong－Petit定律）Dulong－Petit1819年发现大多数固体常温下的摩尔热容量差不多都等于一个与材料和温度无关的常数值（25J/mol﹒K），这个结果就称为Dulong－Petit定律。根据经典统计中的能量均分定理，受简谐力作用的原子像一组谐振子，每个自由度的平均总能量为kBT，一摩尔固体中有个原子，所以每摩尔晶体晶格的振动能为：虽

7、然Dulong－Petit定律得到经典能量均分定理的解释。但1875年Weber就发现不少固体的热容量远低于Dulong－Petit数值，而且随温度的降低而减小，这是经典理论所无法理解的，也是量子论诞生的催生剂之一。典型金属元素定压比热随温度的变化的测量值同DulongandPetit定律的比较。这里Cp＝Cv爱因斯坦模型爱因斯坦给出了一个最简单的晶格振动模型，假定晶体中个原子以同一频率振动爱因斯坦声子谱密度爱因斯坦比热容与经典理论的一致性Einstein保留了原子热振动可以用谐振子描述的观点，但放弃了能量均分的经典观念，

8、而假定其能量是量子化的：在与环境温度处于热平衡状态时谐振子按时间的平均能量为：当时，即高温下：和经典理论是一致的，只是在低温下量子行为才是突出的。为确定谐振子的平均能量，Einstein又做了一个极为简单的假定，他假定晶体中所有原子都以同一频率ωE在振动。因而在一定温度下，由N个原子组成的晶体的总振动能