《D18函数连续性》PPT课件

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1、二、函数的间断点一、函数连续性的概念第八节机动目录上页下页返回结束函数的连续性第一章三、初等函数的连续性增量:机动目录上页下页返回结束一、函数连续性的概念对自变量的增量有函数的增量机动目录上页下页返回结束在的某邻域内有定义,设函数定义:在的某邻域内有定义,设函数若则称函数可见,函数在点定义:在的某邻域内有定义,则称函数(1)在点即(2)极限(3)设函数连续必须具备下列条件:存在;且有定义,存在;机动目录上页下页返回结束左连续右连续函数在点连续有下列等价命题:机动目录上页下页返回结束continue若在某区

2、间上每一点都连续,则称它在该区间上连续,或称它为该区间上的连续函数.例如,在上连续.(有理整函数)又如,有理分式函数在其定义域内连续.只要都有机动目录上页下页返回结束连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.基本初等函数在定义域内每点处均连续;机动目录上页下页返回结束即基本初等函数在定义域内是连续的.例1证由定义知机动目录上页下页返回结束例2解右连续但不左连续,机动目录上页下页返回结束例3既是左连续又是右连续,机动目录上页下页返回结束思考：解：注:有极限是连续的必要而非充分条件.机动目录上页下页返回结束在在

3、二、函数的间断点(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点之一函数f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点.在无定义;机动目录上页下页返回结束为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例如:机动目录上页下页返回结束显然为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.机动目录上页下页返回结束间断点分类:第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为可去间断点.为跳跃间断点.为无穷间断点

4、.为振荡间断点.机动目录上页下页返回结束函数y=tanx在x=kπ+π/2(k=0,±1,±2,…)处间断.且都是第二类间断点.★注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.机动目录上页下页返回结束例4设函数指出间断点及类型.解该函数的间断点为故为函数的第一类间断点.由于机动目录上页下页返回结束在其定义域内连续1、连续函数的运算法则定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,(利用极限的四则运算法则证明)商(分母不为0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.例如,机动目录上页下页返回结束三、初等函数的连

5、续性在上连续单调递增,其反函数在上也连续单调递增.又如,第十节目录上页下页返回结束定理2.连续单调递增函数的反函数例如,在上连续单调递增，其反函数(递减).(证明略)在[－1,1]上也连续单调递增.递增(递减)也连续单调定理3.连续函数的复合函数是连续的.设函数于是复合函数且即机动目录上页下页返回结束例如,是由连续函数链因此在上连续.复合而成,机动目录上页下页返回结束二、初等函数的连续性基本初等函数在定义域内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如,的连续区间为(

6、端点为单侧连续)的定义域为因此它无连续点而机动目录上页下页返回结束（在孤立点的邻域内没有定义）包含在定义域内的区间注:初等函数在孤立点处谈不到连续性.例6解注意:初等函数求极限的方法代入法.机动目录上页下页返回结束例7机动目录上页下页返回结束内容小结左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式机动目录上页下页返回结束内容小结基本初等函数在定义域内连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的反函数连续连续函数

7、的复合函数连续初等函数在定义区间内连续说明:分段函数在界点处是否连续需讨论机动目录上页下页返回结束作业P721-6思考与练习1.讨论函数x=2是第二类无穷间断点.间断点的类型.2.设时提示:为连续函数.机动目录上页下页返回结束答案:x=1是第一类可去间断点,例5解间断点为机动目录上页下页返回结束