§6.3 惟一决定分式线性映射的条

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1、§6.3惟一决定分式线性映射的条件一、三对对应点惟一决定分式线性映射一个分式线性映射形式上有四个参数，但四个参数中至少有一个不为零，因此只需分子分母同除以这个参数，这样分式线性映射只依赖于三个独立常数。定理6.9的点　　　　，在　平面上，任意给定三个相异在　平面上，也任意给定则存在惟一的分三个相异的点　　　　　，式线性映射将　分别映成　　　　　　　。证略。满足条件的分式线性映射为：注：若　或　　　　　　　中出现　，则在公式中将包含　的部分改为1即可。例如，若　　　　，则上式变为：求将　　　变到　　　的分式线性映射。解由公式得化

2、简得例1由定理可以看出，若在　平面及　平面的的已知圆周　及　上，分别选不同的三点及　　　　　，则将依次映射为　　　　　的分式线性映射，就把圆周　映射为圆周　。定理6.10扩充　平面上任何一个圆周　，可以用一个分式线性映射映射为扩充　平面上的任何一个圆周　。注：本定理中的圆周包括直线。下面说明当分式线性映射将圆周　映成圆周　时，的外部。不可能将　的内部中一部分映成的内部，而　的内部中另一部分映成设　　　为　内部的两点，分别映成，且　在　外部，　在　内部。将　　　用线段连接，线段　　映射为圆弧　　　，则圆弧与　交于　，这样就有两个

3、不同的点被映射为　点，一个在圆周　上，另一个在线段　　上，这样就与分式线性映射的一一对应性矛盾。这样当分式线性映射将圆周　映成圆周　时，圆周　的内部或者映射为　的内部，或者映射为　的外部。在　内任取一点　，若　的像在　的内部，则　的内部就映射成　的内部；反之，则　的内部就映射成　的外部。还可通过下面的方法来判断：上任取三点　　　　，在圆周映射为　上的三点在　上的绕向相同，若　　　　在　上的绕向与则　的内部就映射成　的内部，反之映射成外部。圆心分别在　　与　　　，半径均为　的两圆弧所围成的区域在映射成什么区域？解例2平面上两圆弧

4、交点为i和-i，映射将i映成　，－i映射成0，因此两圆弧映射成两条从原点出发的射线。如图两圆弧在－i处夹角为　　，两圆弧与　轴正向夹角均为　　，由于-i,O,i分别映射成O,-1,　，综上，阴影部分被映射为以下角形区域。如图由于分式线性映射的保圆性，因此它在处理边界为圆周的区域映射上起很大作用。下面介绍三类重要的分式线性映射：（1）上半平面映射成上半平面设分式线性映射将映射成二、三类重要的分式线性映射则该分式线性映射将　平面的实轴映射为　平面的实轴　　　　，保持同向。因此该映射将　平面实轴上三点分别映射成　平面实轴上三点　　　

5、　　，即旋转角为0，则由可解得均为实数，因此。由于因此，当　　　　时，有　　　　。因此分式线性映射将　　　　映为的充分必要条件为均为实数，且。例3求出将上半平面　　　　映射为上半平面　　　　，且将　　　映射成映射成的分式线性映射。解设，由　　　　得由　　　　　得解得，因此例4求出将上半平面　　　　映射为上半平面　　　　，且将　　　依次映射为　　　的分式线性映射。解设，由　　　　得由　　　　得　　　，即由　　　　得　　　　，即因此，且满足　　　　为实数，。本题也可用定理6.9解，略。（2）上半平面映射成单位圆由分式线性映射的保圆

6、性知，该映射必将实轴　　　　映射为单位圆的圆周　　　。由于上半平面的某一点　　　映射为圆心，根据分式线性映射的保对称性，得关于实轴的对称点　映射为　关于单位圆的对称点　，因此所求的分式线性映射具有下列形式：当　取实数时，　　　，因此因此可取　　　，则所求分式线性映射的一般形式为：反之，上面的分式线性映射必将上半平面映射为单位圆的内部。注如要确定该映射中　可以任意取值，，还需附加条件，通常是指定实轴与单位圆上的一组对应点，。或在　处的旋转角例5求一分式线性映射，将上半平面映射成单位圆内部，，且（1）点　　　映射成　　　；（2）　

7、　　　　　。解由条件（1）可设由条件（2）可得即因此例6求将上半平面　　　　映射为单位圆且满足条件　　　　，的分式线性映射。解由条件　　　　　设因为则得因此（3）单位圆映射成单位圆的分式线性映射该映射将　平面上单位圆内的一点映射为　平面单位圆圆心　，由保对称性则：因此又由该映射将　　映射到　　　上，则由　　　　　　，得可设，因此反之，上面的分式线性映射必将单位圆内部映射为单位圆的内部。例7求将单位圆映射成单位圆且满足，　　　　　的分式线性映射。解由条件　　　　　设可得，由于则　　　为正实数，从而　　　；因此所求的分式线性映射为

8、：例8求将单位圆映射成单位圆且满足，　　　　　的分式线性映射。解由条件　　　　　　得映射为　　　的圆心；该映射将　　关于　　　的对称点则，即，因此设又由得因此则三、杂例例9求将　　　　映射成　　　　　且满足条件　　　　　，的分式线性映射。解注意到　　　　　将　　　　　映射为单