D110连续函数性质(IV)

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1、第十节一、最值定理二、零点定理与介值定理机动目录上页下页返回结束闭区间上连续函数的性质第一章一、最值定理1、定义：设f(x)在I上有定义，若都有，则称为f(x)在I上的最大（小）值M(m).注意：1）f(x)在I上的最值可能存在也可能不存在。例：f(x)=x在[a,b]上有最大值b,最小值a;但在(a,b)上没有最大值和最小值。2）最大值与最小值也可能相等。例:常值函数。3）最值是整体概念。4）最值的可能点：端点、极值点、不可导点机动目录上页下页返回结束2、[a,b]上的连续函数的最值定理定理1.在闭区间上连续的函数即:设则使值和最小值.在该区间上一定有最大

2、(证明略)机动目录上页下页返回结束注意：1）定理的条件充分不必要。例如,无最大值和最小值也无最大值和最小值又如,机动目录上页下页返回结束2）若函数在开区间上连续,结论不一定成立.或在闭区间内有间断点,推论.二、零点定理及介值定理2、定理(零点定理)至少有一点且使机动目录上页下页返回结束(证明略)在闭区间上连续的函数在该区间上有界.1、函数f(x)的零点：设f(x)在I上有定义，若使得则称为f(x)的零点。注意：1）即f(x)的零点为f(x)=0的根。2）函数的零点即为y=f(x)与x轴的交点。（条件充分不必要！）分析：3、定理(介值定理)设且则对A与B之间的

3、任一数C,一点证:作辅助函数则且故由零点定理知,至少有一点使即推论:使至少有在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值之间的任何值.机动目录上页下页返回结束注意：1）定理的条件充分不必要。2）证明的过程实际上就给出了含有中间值的等式的方法。应用：1）证明含有中间值的等式。2）证明方程的根。例1、设证明：证明：分析：即求零点。机动目录上页下页返回结束故由零点定理知：例2、设证明：分析：即求零点。证明：令易知机动目录上页下页返回结束且故由零点定理知：例3、证明：（证明略.提示：令F(x)=f(x)-g(x)）例4、证明方程的根：1）证明：至少有一个根。机动目录

4、上页下页返回结束证:显然又故据零点定理,至少存在一点使即至少有一个根2）证明：至少有一个根。证:显然又故据零点定理,至少存在一点即至少有一个根机动目录上页下页返回结束3）.证明方程一个根.证:显然又故据零点定理,至少存在一点使即说明:内必有方程的根;取的中点内必有方程的根;可用此法求近似根.二分法在区间内至少有机动目录上页下页返回结束则则内容小结在上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4.当时,使必存在上有界;在在机动目录上页下页返回结束练习1、设判断f(x)的连续性。若有间断点，并确定类型。解：机动目录上页下页返回结束x=0为跳跃间断点。x

5、>0,orx<0时，f(x)为初等函数，连续。2、讨论函数的连续性：机动目录上页下页返回结束解：为无穷间断点。为可去间断点。为可去间断点。机动目录上页下页返回结束所以x=0为跳跃间断点。机动目录上页下页返回结束3、设求1）f(x)2）讨论f(x)的连续性。解：1）2）机动目录上页下页返回结束f(x)在x=1点连续，x=1为跳跃间断点。f(x)在x=-1点连续，否则，x=-1为跳跃间断点。机动目录上页下页返回结束1.任给一张面积为A的纸片(如图),证明必可将它思考与练习一刀剪为面积相等的两片.提示:建立坐标系如图.则面积函数因故由介值定理可知:机动目录上页下页

6、返回结束备用题至少有一个不超过4的证：证明令且根据零点定理,原命题得证.内至少存在一点在开区间显然正根.机动目录上页下页返回结束