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《高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介1柱坐标系学案含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1．柱坐标系柱坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z∈R.(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为 将直角坐标化为柱坐标 设
2、点A的直角坐标为(1，，5)，求它的柱坐标． 由公式求出ρ，再由tanθ＝求θ. 由公式得ρ2＝x2＋y2，即ρ2＝12＋()2＝4，∴ρ＝2.tanθ＝＝，又x>0，y>0，点在第一象限．∴θ＝，∴点A的柱坐标为.已知点的直角坐标，确定它的柱坐标关键是确定ρ和θ，尤其是θ，要注意求出tanθ后，还要根据点所在象限确定θ的值(θ的范围是 已知点P的柱坐标为，求它的直角坐标． 直接利用公式求解． 由变换公式得x＝4cos＝2，y＝4sin＝2，z＝8.∴点P的直角坐标为(2,2，8)．4已知柱坐标，求直角坐标，利用变换公式即可．3．点N的柱坐标为，求它的
3、直角坐标．解：由变换公式得x＝ρcosθ＝2cos＝0，y＝ρsinθ＝2sin＝2，故点N的直角坐标为(0,2,3)．4．已知点A的柱坐标为(1，π，2)，B的柱坐标为，求A，B两点间距离．解：由x＝ρcosθ，得x＝cosπ＝－1.由y＝ρsinθ，得y＝sinπ＝0.∴A点的直角坐标为(－1,0,2)．同理，B点的直角坐标为(0,2,1)．∴
4、AB
5、＝＝.故A，B两点间的距离为.课时跟踪检测(五)一、选择题1．设点M的直角坐标为(1，－，2)，则它的柱坐标是( )A.B.C.D.解析：选D ρ＝＝2，tanθ＝－，又x>0，y<0，M在第四象限
6、，∴θ＝，∴柱坐标是.2．点P的柱坐标为，则点P与原点的距离为( )A.B．2C．4D．8解析：选B 点P的直角坐标为(4，4，2)．∴它与原点的距离为：＝2.43．空间点P的柱坐标为(ρ，θ，z)，关于点O(0,0,0)的对称点的坐标为(0＜θ≤π)( )A．(－ρ，－θ，－z)B．(－ρ，θ，－z)C．(ρ，π＋θ，－z)D．(ρ，π－θ，－z)答案：C4．在直角坐标系中，(1,1,1)关于z轴对称点的柱坐标为( )A.B.C.D.解析：选C (1,1,1)关于z轴的对称点为(－1，－1,1)，它的柱坐标为.二、填空题5．设点Μ的柱坐标为，则
7、点Μ的直角坐标为________．解析：x＝ρcosθ＝2cos＝.y＝ρsinθ＝2sin＝1.∴直角坐标为(，1,7)．答案：(，1,7)6．已知点M的直角坐标为(1,0,5)，则它的柱坐标为________．解析：∵x＞0，y＝0，∴tanθ＝0，θ＝0.ρ＝＝1.∴柱坐标为(1,0,5)．答案：(1,0,5)7．在空间的柱坐标系中，方程ρ＝2表示________．答案：中心轴为z轴，底半径为2的圆柱面三、解答题8．求点M(1,1,3)关于xOz平面对称点的柱坐标．解：点M(1,1,3)关于xOz平面的对称点为(1，－1,3)．由变换公式得ρ2＝
8、12＋(－1)2＝2，∴ρ＝.tanθ＝＝－1，4又x＞0，y＜0，∴θ＝.∴其关于xOz平面的对称点的柱坐标为.9．已知点M的柱坐标为，求M关于原点O对称的点的柱坐标．解：M的直角坐标为∴M关于原点O的对称点的直角坐标为(－1，－1，－1)．∵ρ2＝(－1)2＋(－1)2＝2，∴ρ＝.tanθ＝＝1，又x＜0，y＜0，∴θ＝.∴其柱坐标为.∴点M关于原点O对称的点的柱坐标为.10．建立适当的柱坐标系表示棱长为3的正四面体各个顶点的坐标．解：以正四面体的一个顶点B为极点O，选取以O为端点且与BD垂直的射线Ox为极轴，在平面BCD上建立极坐标系．过O点与
9、平面BCD垂直的线为z轴．过A作AA′垂直于平面BCD，垂足为A′，则
10、BA′
11、＝×＝，
12、AA′
13、＝＝，∠A′Bx＝90°－30°＝60°＝，则A，B(0,0,0)，C，D.4
