3热传导方程(扩散方程)

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1、第一章数学建模和基本原理介绍从不同的物理模型出发，建立数学物理中三类典型方程根据系统边界所处的物理条件和初始状态列出定解条件提出相应的定解问题热量，是指在热力系统与外界之间依靠温差传递的能量。热量是一种过程量，所以准热量只能说“吸收”“放出”。备热力学第一定律：系统在任一过程中包括知能量的传递和转化，其总能量的值保持不识变。也即能量守恒傅里叶定律：在导热现象中，单位时间内通过给定截面的热量，正比例于垂直于该界面方向上的温度变化率和截面面积，而热量传递的方向则与温度升高的方向相反2.*通量与散度设向量场A(P,Q,R),P,Q,R,在域G内有一阶连续偏导数,则向量

2、场通过有向曲面的通量为AndS(n为的单位法向量）G内任意点处的散度为PQRdivAAxyzPQR()dvPdydzQdzdxRdxdyxyz——————高斯公式由两类曲面积分之间的关系知PQR()dvxyz(cosPQcosRcos)dS.Gauss公式的实质表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.§1.1数学模型的建立数学模型建立的一般方法：确定所研究的物理量；建立适当的坐标系；划出研究小单元，根据物理定律和实验资料写出该单

3、元与邻近单元的相互作用，分析这种相互作用在一个短时间内对所研究物理量的影响，表达为数学式;简化整理，得到方程。22热传导动方程热传导动方程第一节热传导方程的导出和定解条件一、热传导方程的导出：给定一空间内物体G，设其上的点(,,)xyz模型：在时刻t的温度为uxyzt(,,,)。问题：研究温度uxyzt(,,,)的运动规律。分析：（两个物理定律和一个公式）分析：（两个物理定律和一个公式）1、热量守恒定律:温度变通过边热源放化吸收界流入出的热的热量的热量量2、傅里叶（Fourier）热传导定律:udQkxyz(,,)dSdt,nkxyz(,,)为热传导系数。3、热

4、量公式:Qcmu热传导方程的推导：任取物体G内一个由光滑闭曲面S所围成的区域，研究物体在该区域内热量变化规律。区域内各点的温度从时刻t1的温度uxyzt(,,,)1热量改变为时刻t2的温度uxyzt(,,,)2所吸收（或守恒放出）的热量，应等于从时刻t1到时刻t2这段定律时间内通过曲面S流入（或流出）内的热量和热源提供（或吸收）的热量之和。即内温度变化所需要的热量Q=通过曲面S流入内的热量Q1+热源提供的热量Q2下面分别计算这些热量（1）内温度变化所需要的能量Q设物体G的比热（单位质量的物体温度改变1C所需要的热量为ccxyz(,,),密度为(,,)

5、,xyz那么包含点(,,)xyz的体积微元dV的温度从uxyzt(,,,)1变为uxyzt(,,,)2所需要的热量为dQc[(,,,)uxyztuxyzt(,,,)]dV21整个内温度变化所需要的能量QQdQc[(,,,uxyzt)uxyzt(,,,)]dV21t2ut2uc(dtdV)[cdVdt](1.1)tt1t1t（2）通过曲面S进入内的热量Q1由傅里叶热传导定律，从t1到t2这段时间内通过S进入内的热量为t2uQkxyz(,,)dSdt,1t1nS由高斯公式divAdxdydzAn

6、dSxS知t2uuuQ[((k)(k)(k))dVdt].(1.2)1t1xxyyzz（3）热源提供的热量Q2用Fxyzt(,,,)表示热源强度，即单位时间内从单位体积内放出的热量，则从t到t这段时间内内热12源所提供的热量为t2Q[FxyztdVdt(,,,)](1.3)2t1由热量守恒定律得：t2ut2uuu[cdVdt][((k)(k)(k))dVdt]tt1t1xxyyzzt2[FxyztdVdt(,,,)]t1由及tt,的任意性知

7、12uuuuc(k)(k)(k)Fxyzt(,,,).(1.4)txxyyzz三维有热源的热传导方程：（均匀且各向同性物体，即c,,k都为常数的物体）222u2uuuafxyzt(,,,),(1.5)222txyz2kF其中a,f,f称为非齐次项（自由项）。cc三维无热源热传导方程：222u2uuua0.(1.6)222txyz通常称（1.5）为非齐次的热传导方程，而称（1.6）为齐次