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时间:2019-06-29
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1、充分条件与必要条件编稿:张希勇审稿:李霞【学习目标】1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义;2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件;3.会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件表达命题之间的关系.4.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明.【要点梳理】要点一、充分条件与必要条件充要条件的概念符号与的含义“若,则”为真命题,记作:;“若,则”为假命题,记作:.充分条件、必要条件与充要条件①若,称是的充分条件,是的必要条件.②如果既有,又有,就记作,这时是的充分必要条件,称是的充要条件.要点诠释:对的理解:
2、指当成立时,一定成立,即由通过推理可以得到.①“若,则”为真命题;②是的充分条件;③是的必要条件以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达.要点二、充分条件、必要条件与充要条件的判断从逻辑推理关系看命题“若,则”,其条件p与结论q之间的逻辑关系①若,但,则是的充分不必要条件,是的必要不充分条件;②若,但,则是的必要不充分条件,是的充分不必要条件;③若,且,即,则、互为充要条件;④若,且,则是的既不充分也不必要条件.从集合与集合间的关系看若p:x∈A,q:x∈B,①若AB,则是的充分条件,是的必要条件;②若A是B的真子集,则是的充分不必要条件;③若A=B,则、互为充要条
3、件;④若A不是B的子集且B不是A的子集,则是的既不充分也不必要条件.要点诠释:充要条件的判断通常有四种结论:充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行:①确定哪是条件,哪是结论;②尝试用条件推结论,③再尝试用结论推条件,④最后判断条件是结论的什么条件.要点三、充要条件的证明要证明命题的条件是结论的充要条件,既要证明条件的充分性(即证原命题成立),又要证明条件的必要性(即证原命题的逆命题成立)要点诠释:对于命题“若,则”①如果是的充分条件,则原命题“若,则”与其逆否命题“若,则”为真命题;②如果是的必要条件,则其逆命题
4、“若,则”与其否命题“若,则”为真命题;③如果是的充要条件,则四种命题均为真命题.【典型例题】类型一:充分条件、必要条件、充要条件的判定例1.指出下列各题中,是的什么条件?(1):,:;(2):,:抛物线过原点(3):一个四边形是矩形,:四边形的邻边相等【解析】(1)∵:或,:∴且,∴是的必要不充分条件;(2)∵且,∴是的充要条件;(3)∵且,∴是的既不充分条件也不必要条件.【总结升华】判定充要条件的基本方法是定义法,即“定条件——找推式——下结论”.有时需要将条件等价转化后再判定.举一反三:【变式1】指出下列各题中,是的什么条件?(1):,:和是对顶角.(2),
5、;【答案】(1)∵且,∴是的必要不充分条件,是的充分不必要条件.(2)∵∴,但,∴是的充分不必要条件,是的必要不充分条件.【变式2】判断下列各题中是的什么条件.(1):且,:(2):,:.【答案】(1)是的充分不必要条件.∵且时,成立;反之,当时,只要求、同号即可.∴必要性不成立.(2)是的既不充分也不必要条件∵在的条件下才有成立.∴充分性不成立,同理必要性也不成立.【高清课堂:充分条件与必要条件394804例2】例2.已知p:06、x-17、<2,则p是q的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件X O 8、3 -1 1 2 P Q 【解析】q:9、x-110、<2,解得-111、R,则“1<x<2”是“12、x-213、<1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】由14、x-215、<1-1<x-2<1-1<x<3,可知“1<x<2”是“16、x-217、<1”的充分而不必要条件.故选:A.【变式3】(2015福建)若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】若l⊥m,因为m垂直于平面α,则l∥α或lα;若l∥α,又m垂直于平面α,则l⊥m,所以“l⊥m”是“l∥α”的必要不充分条件,故选B.类型二18、:充要条件
6、x-1
7、<2,则p是q的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件X O
8、3 -1 1 2 P Q 【解析】q:
9、x-1
10、<2,解得-111、R,则“1<x<2”是“12、x-213、<1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】由14、x-215、<1-1<x-2<1-1<x<3,可知“1<x<2”是“16、x-217、<1”的充分而不必要条件.故选:A.【变式3】(2015福建)若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】若l⊥m,因为m垂直于平面α,则l∥α或lα;若l∥α,又m垂直于平面α,则l⊥m,所以“l⊥m”是“l∥α”的必要不充分条件,故选B.类型二18、:充要条件
11、R,则“1<x<2”是“
12、x-2
13、<1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】由
14、x-2
15、<1-1<x-2<1-1<x<3,可知“1<x<2”是“
16、x-2
17、<1”的充分而不必要条件.故选:A.【变式3】(2015福建)若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】若l⊥m,因为m垂直于平面α,则l∥α或lα;若l∥α,又m垂直于平面α,则l⊥m,所以“l⊥m”是“l∥α”的必要不充分条件,故选B.类型二
18、:充要条件
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