引言、整除的概念、带余数除法

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1、初等数论黎琳lilin@bjtu.edu.cn2016.03.011授课教师：黎琳E-mail：lilin@bjtu.edu.cn，办公地点：九教北310，电话：51688637课件：教务处课程平台http://jwc.bjtu.edu.cn/2教材闵嗣鹤，严士健，初等数论（第三版），高等教育出版社.参考教材[1]潘承洞，潘承彪，初等数论（第三版），北京大学出版社.[2]罗森（KennethH.Rosen）,初等数论及其应用(ElementaryNumberTheory(6thEdition)).机械工业出版社.[3]科布茨，数论与密码学教程（第2版），世界

2、图书出版社.3课程设置整数的可除性*6学时不定方程2学时同余*6学时同余式*4学时二次同余式与平方剩余*6学时原根与指标*4学时连分数2学时4考核方式成绩评定主要包括平时成绩（含考勤、作业、随堂测试）占50%，期末考试成绩占50%；期末采取闭卷笔试5序言数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支，其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数（即质数）分布以及数论函数等内容，统称初等数论（elementarynumbertheory）。初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助，只依靠初等的方法来研究整数性质的分支。初等数论是信

3、息安全专业的必修课，是密码学等课的基础6发展历史初等数论的大部份内容早在古希腊欧几里德的《几何原本》（公元前3世纪）中就已出现。欧几里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法，即所谓欧几里得算法。欧几里得[前330年～前275年]，欧氏几何学的开创者，古希腊数学家，以其所著的《几何原本》闻名于世7我国古代在数论方面亦有杰出之贡献，现在一般数论书中的“中国剩余定理”，正是我国古代《孙子算经》中的下卷第26题，我国称之为孙子定理。约成书于四、五世纪，作者生平和编写年代都不清楚。现在传本的《孙子算经》共三卷。卷下第31题，可谓是后世“鸡兔同笼

4、”题的始祖，后来传到日本，变成“鹤龟算”。8近代初等数论的发展得益于费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。高斯1777—1855，德国数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。1801年，著有《算术探究》，开始了现代数论的新纪元。高斯还提出：“数学是科学之王，数论是数学之王”。9费马[法]1601-1665，是数学史上最伟大的业余数学家，提出了费马大、小定理；在坐标几何，无穷小，概率论等方面有巨大贡献。哥德巴赫1690-1764，德国数学家；曾担任中学教师，1725年到俄国，被选为彼得堡科学院院士.10勒让德[法]1752～1833，在分析学、数论、

5、初等几何与天体力学，取得了许多成果，是椭圆积分理论奠基人之一。对数论的主要贡献是二次互反律，还是解析数论的先驱者之一.雅可比[德]1804～1851，在偏微分方程中，引进了“雅可比行列式。对行列式理论作了奠基性的工作，在代数学、变分法、复变函数论、分析力学、动力学及数学物理方面也有贡献11欧拉1707－1783，瑞士数学家，自然科学家。是数学史上最多产的数学家，每年写出八百多页的论文，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学中的经典著作。希尔伯特[德]1862～1943，他领导的数学学派是19世纪末20世纪初数学界的一面旗帜，希尔伯特被

6、称为“数学界的无冕之王”。著《数论报告》等12由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具，数论得到进一步的发展，从而开阔了新的研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论等新分支。近年来初等数论在计算机科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了广泛的应用，无疑同时也促进着数论的发展。13华罗庚1910—1985，是中国解析数论、矩阵几何学、典型群、自安函数论等多方面研究的创始人和开拓者。以华氏命名的数学科研成果很多。被列为芝加哥科学技术博物馆中当今世界88位数学伟人之一。陈景润1933－1996，主要研究解析数论，他研究哥德巴赫猜想

7、和其他数论问题的成就，至今仍然在世界上遥遥领先。其成果也被称之为陈氏定理。14王元1930－50年代至60年代初，首先在中国将筛法用于哥德巴赫猜想研究，并证明了命题3+4，1957年又证明2+3，这是中国学者首次在此研究领域跃居世界领先地位.潘承洞，在解析数论研究方面有突出贡献。主要成就涉及算术数列中的最小素数、哥德巴赫猜想研究，以及小区间上的素变数三角和估计等领域。15几个著名数论难题初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。其中，非常著名的问题有：哥德巴赫猜想；费

8、尔马大定理；孪生素数问题；完全数问题等。161742