正方形经典例题与答案

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1、典型例题一例01．如图，在正方形ABCD的对角线AC上取点E，使，过E点作交AD于F.求证：.证明连结CF.在正方形ABCD中，，AC平分.∵，又∵，∴.∴在与中，∴∴∴.说明：本题考查正方形的性质，易错点是忽视是等腰直角三角形.解题关键是证是等腰直角三角形和连CF证.典型例题二例02．如图，已知：在中，，CD是的平分线，交BC于E，交AC于F.求证：四边形CEDF是正方形.分析：要判定一个四边形是正方形有这样几种方法：①按照定义证明，②先证明它是菱形，再证它有一个角等于.③先证明它是矩形，再证它有一组邻边相等，那么本题中，因有一个角，且有两对平行线段，我们不妨采用第三种证明方法.那么由

2、角平分线的性质定理容易证出.证明：∵（已知）∴四边形CEDF是平行四边形.∵（已知），∴四边形CEDF是矩形（有一个角是的平行四边形是矩形）.∵（已知），∴又∵CD是的平分线（已知），∴（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.∴四边形CEDF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.说明正方形是特殊的平行四边形，也是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的特殊菱形．所以在判断一个图形是否为正方形时，由它的特殊性出发，通过先证它是平行四边形、矩形和菱形来完成．典型例题三例03．已知：如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分交CD于F.求证：.证法1延长DC至N，使，连结BN，

3、则.∴.∵四边形ABCD为正方形，∴∴.∵，，∴∴∴证法2如图，延长DA到G，使，连结BG，则.∴.∵四边形ABCD是正方形，∴∴∵，∴∴，即∴∴说明构造全等三角形是关键典型例题四例04．如图，已知：E是正方形ABCD的边AD的中点，F是DC上的一点，且.求证：.分析：因为，，所以若设，则EF、BE都可以用含有的代数式表示.由此，我们想到，为了证明，即为了证明，不妨使用勾股定理的逆定理.为此，连结BF，则只需证明就可以了.证明：连结BF，∵四边形ABCD是正方形，∴，因为，∴若设，则，在中，根据勾股定理，在中，根据勾股定理，在中，根据勾股定理∴有∴是直角三角形，且，即.说明由正方形的特殊

4、性，它不仅有平行四边形的性质，正方形的性质，还有菱形的性质，在给出一个四边形是正方形时，要能够灵活运用这些性质.典型例题五例05．已知：如图，正方形ABCD中，延长AD至E，使，再延长DE至F，使.连结BF交CE，CD于P，Q.求证：.证明：在正方形ABCD中，，，.∵，∴∵，∴∴四边形BDEC是平行四边形.∴∴，.∴.∴∴，∴∴说明：本题综合考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，易错点是习惯地用角的代换企图证明，这样做显然无法证出.解题关键是求出.典型例题六例06．如图，已知：在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC上的点，若有.求：的度数.分析：在给出的条件中，这一条件比较分散

5、.我们不妨把AE和CF平移到同一直线上.由正方形的性质可知，所以我们延长BC到G，使，则可以知道，∵.又可以证得，∴可知，因此可求得的度数.解答：延长BC到G，使，连结DG.∵正方形ABCD，∴又∵∴∴∵，∴∴.又∵∴典型例题七例07．如图，已知：正方形ABCD的边长等于，点P在BC上，，且与AB、CD分别交于E、F两点.求：EF的长.分析：为了求EF的长，需要把EF与已知条件联系起来，因此想到构造一个以EF为边的三角形，所以作，则易证，从而可求.解答：过E点作交CD于G，∴,∵四边形ABCD是正方形，∴，∴四边形BCGE是矩形.∴∵，，∴，∴.∴∴典型例题八例08．（河北省，1997）

6、命题：如图（1），已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上一点，过点A作，垂足为G，AG交BD于点F，则.证明∵四边形ABCD是正方形，∴.∴又∵，∴∴∴∴问题对上述命题，若点E在AC的延长线上，，交EB的延长线于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其他条件不变，则结论“”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.解答：结论仍成立.证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴，∵，∴.∴∴∴说明：本题是一个阅读理解题，解题关键是要阅读解题过程，总结解题思路和方法，然后探索并解决新问题.