《线性代数》PPT课件

《《线性代数》PPT课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§5.3相似矩阵一、相似矩阵与相似变换的概念与性质定义:设A,B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P,使P-1AP=B,则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似,对A进行运算P-1AP,称为对A进行相似变换,可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.定理3:若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项式相同,从而A与B的特征值亦相同.证明:由于矩阵A与B相似,则存在可逆矩阵P,使P-1AP=B

2、B–E

3、=

4、P-1AP–E

5、=

6、P-1AP–P-1EP

7、所以,=

8、P-1(A–E)P

9、=

10、A–E

11、=

12、P-1

13、

14、A–E

15、

16、P

17、相似矩阵的性质:1.矩阵的相似关系是

18、等价的:(1)自反性:A与A本身相似;(2)对称性:若A与B相似,则B与A相似;(3)传递性:若A与B相似,B与C相似,则A与C相似.=diag(1,2,···,n)=其中若n阶方阵A与对角阵=diag(1,2,···,n)相似,则称方阵A可(相似)对角化.推论:若n阶方阵A与对角阵=diag(1,2,···,n)相似,则1,2,···,n既是A的n个特征值.3.P-1(A1A2)P=(P-1A1P)(P-1A2P).4.若A与B相似,则Am与Bm相似(m为正整数).2.P-1(k1A1+k2A2)P=k1P-1A1P+k

19、2P-1A2P.其中k1,k2是任意常数.由于矩阵A与B相似,则存在可逆矩阵P,使P-1AP=B,亦即A=PBP-1,所以,Am=(PBP-1)m=PBP-1PBP-1···PBP-1=PBmP-1.进一步有,若(A)=a0E+a1A+···+amAm,则(A)=a0PP-1+a1PBP-1+···+amPBmP-1=P(a0E+a1B+···+amBm)P-1=P(B)P-1.即相似矩阵的多项式,有相同的相似变换矩阵.Am=PmP-1;(A)=P()P-1.特别当矩阵A与对角阵=diag(1,2,···,n)相似时,则而对于对角

20、阵,有k=()=利用上述结论可以很方便地计算矩阵A的多项式(A).结论:若f()为矩阵A的特征多项式,则矩阵A的多项式f(A)=O.此结论的一般性证明较困难,但当矩阵A与对角阵相似时很容易证明.即=POP-1=O.f(A)=Pf()P-1=二、利用相似变换将方阵对角化n阶方阵A是否与对角阵=diag(1,2,···,n)相似,则我们需要解决如下两个问题:1.方阵A满足什么条件与对角阵相似;2.如何求方阵A与对角阵相似的相似变换矩阵P.以下定理及其证明过程回答了以上两个问题.定理4:n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能相似对角化

21、)的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.证明:假设存在可逆阵P,使P-1AP=为对角阵,把P用其列向量表示为P=(p1,p2,···,pn).由P-1AP=,得AP=P,A(p1,p2,···,pn)=(p1,p2,···,pn)(Ap1,Ap2,···,Apn)=(1p1,2p2,···,npn),所以,因而有,Api=ipi(i=1,2,···,n).可见,i是A的特征值,而P的列向量pi就是A的对应于特征值i的特征向量.再由P的可逆性知,p1,p2,···,pn线性无关.反之,由于A恰好有n个特征值1,2,···,n

22、,并可对应地求得n个线性无关的特征向量p1,p2,···,pn,这n个特征向量即可构成可逆矩阵P=(p1,p2,···,pn),使AP=(Ap1,Ap2,···,Apn)=(1p1,2p2,···,npn)即=P.=(p1,p2,···,pn)因此有,P-1AP=,即矩阵A与对角矩阵相似.命题得证.推论:如果n阶矩阵A有n个互不相等的特征值,则A与对角阵相似.说明:如果A的特征方程有重根,此时不一定有n个线性无关的特征向量,从而矩阵A不一定能对角化.但如果能找到n个线性无关的特征向量,则A还是能对角化.例1:判断下列实矩阵能否化为对角阵:解

23、:

24、A–E

25、==(–2)2(+7)=0得A的特征值:1=2=2,3=–7.将1=2=2代入(A–E)x=0,得解之得基础解系:将3=–7代入(A–E)x=0,得解之得基础解系:A有3个线性无关的特征向量,因而A可对角化.

26、B–E

27、==–(+1)3=0得B的特征值:1=2=3=–1.将1=2=3=–1代入(B–E)x=0,得故B不能对角化.解之得基础解系:角化,求出可逆矩阵P,使P-1AP=为对角阵.例2:设A=A能否对角化?若能对解:

28、A–E

29、==–(–1)2(+2)=0得A的特征值:1=2=1,3

30、=–2.将1=2=1代入(A–E)x=0,得解之得基础解系:将3=–2代入(A–E)