线性代数课件.ppt

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1、回顾1是所有不同行、不同列的n个元素的乘积的代数和。n阶行列式23§1.2行列式的性质性质1.行列式与它的转置行列式相等.转置：行列互换【评注】性质1表明，行列式的行与列有相同的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立。(详细证明见教材)4性质2.互换行列式的两行（列）,行列式的值变号.i行k行5推论：如果行列式某两行（列）对应元素相同，则行列式的值为零。例1计算如6性质3.如果行列式某行(列)所有元素都乘数k，等于数k乘此行列式。推论1行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式的外面．推论2行列式有一行（列）的元素全为零，行列式值为0.7例2计算推

2、论3行列式中如果有两行（列）元素对应成比例，则此行列式的值为零．证明i行j行8性质4(拆分性质).若行列式某行（列）元素为两数和，则可拆成两行列式的和。[注]：此性质可进一步推广。9性质5(乘加法则).把行列式的某行(列)的各元素乘以不为零的数k后加到另一行(列)的对应元素上，行列式值的不变。10【分析】利用行列式性质化为三角形行列式。例3计算四阶行列式11【总结】化上三角形行列式的基本步骤：如果第一列第一个元素为0，先将第一行（列）与其他行（列）交换，使得第一列第一个元素不为0，注意符号；然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行，使得第一列的元素除了第一个元素外其余元

3、素全为0；再用同样的方法处理除去第一行第一列后余下的低一阶行列式，依次做下去，直到化成上三角形行列式，此时主对角线上元素乘积就是行列式的值。例4计算行列式12解13141516利用性质计算行列式2.手段：观察行列式的特点，元素的规律，利用行列式性质，植数造“0”，化简行列式。1.目标：化为三角形行列式；0*0*0*0*,,,17例上三角形行列式A1819若用分项性质应有8个行列式，而不是2个。201计算解：练习答案：D=-72213.计算法一：同题2的解法。法二：由于各行(列)元素之和相等，将每行(列)各元素加到第一行(列)，则第一行(列)元素相同，从而可以提取公因子。

4、该方法具有普遍性。224、计算【注】形如的箭头形（或爪形）行列式，可利用性质将其一条边化出若干0，得三角形行列式。,,,23【注】形如的行列式，可利用性质将含有非零元素的行或列(蓝色线表示)化出若干0，得三角形行列式。,,,24解7、计算25行列式按行（列）展开引入26一、定义n阶行列式中，划去元素aij所在的第i行和第j列元素，余下的元素按原来顺序构成一个n-1阶行列式，称为元素aij的余子式，记做Mij。称为元素aij的代数余子式。【注】行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式.27如四阶行列式的余子式:代数余子式:12)1(111111-=-=+MA2

5、110111111320121---=D21111111311--=M=－1228四阶行列式的余子式:代数余子式:2110111111320121---=D321011102123-==M3)1(233223=-=+MA29定理:n阶行列式D＝

6、aij

7、等于它的任意一行(列)各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即或二、行列式展开定理按第i行展开按第j列展开30例1利用行列式的展开计算行列式的值【评注】一般应选取零元素最多的行或列进行展开;或者选取一行或列,利用行列式的性质5,将这一行或列的元素尽可能多的化为零,然后按这一行或列进行展开;这样方便计算。31例2计算行列式

8、的值【评注】可先用行列式的性质将某行（列）化为含少量非0元素的情况，再按该行（列）展开。32推论：行列式D的任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.证明在中，如果令第i行的元素等于另外一行，譬如第k行的元素，得D133第i行=0.按第i行展开得【注】Aij既是D1中第i行第j列元素的代数余子式，也是D中第i行第j列元素的代数余子式。34综上，得公式35例3：计算范德蒙行列式111131211221232221132111111--------.......................=nnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxx

9、xD36n-1阶范德蒙行列式37依此类推，可得：38化三角形法：利用性质化为三角形行列式降阶法：直接降阶：按行列式中非零元素较少的行（列）展开间接降阶：利用行列式性质，使行列式的某行（列）具有较少的非零元，再按其展开.普遍法则行列式的计算39常用技巧拆分法：A=B+C数学归纳法递推法行列式的计算提取因子法：行(列)和相等时，各行(列)加到第一行(列)，提取公因子，再继续化简。40设含有n个未知量n个方程的线性方程组一般形式为:其中称为方程组的系数;称为常数项.克莱姆（Cramer）法则如　　　　　　　称为n元齐次线性方程组。41由系数构成