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《CAD技术基础第二章图形变换》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二章图形变换图形变换是计算机图形学基础内容之一。华中科技大学华铸CAE中心name：廖敦明email：liaodunming@163.com地址：模具国家重点实验室409电话：875581451主要内容（6学时）一、变换的数学基础(参见孙家广的书P358)二、二维几何变换三、三维几何变换四、二维观察变换五、三维观察变换请参考伏玉琛周洞汝主编《计算机图形学-原理方法与应用》华中科技大学出版社，伏玉琛周洞汝主编第7、8、10、11章2图形变换的特点线性变换，属性不变，拓扑关系不变。图形变换的作用1.把用户坐标系与设备坐标系联系起来；2.可由简单图形生成复杂图形；3.可用二维图形表示三维形
2、体；4.动态显示。3一、矢量（Vector）、矩阵（Matrix）及运算1.矢量的含义矢量：是由n个实数组成的集合。如：二维矢量(x,y)，三维矢量(x,y,z)(x,y)XYXYZ(x,y,z)一、变换的数学基础42.矢量运算假定：V1(x1,y1,z1),V2(x2,y2,z2)为两个矢量，则有：矢量和V1+V2=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)矢量点积V1·V2=x1*x2+y1*y2+z1*z2矢量叉积V1×V2=(y1z2-y2z1,z1x2-z2x1,x1y2-x2y1)矢量长度
3、V1
4、=(V1·V1)1/2=(x1*x1+y1*y1+z1*z1)1/253.矩阵的含
5、义矩阵：由m×n个数按一定位置排列的一个整体，简称m×n矩阵。A=其中，aij称为矩阵A的第i行第j列元素64.矩阵运算加法设A，B为两个具有相同行和列元素的矩阵A+B=数乘kA=[k*aij]
6、i=1..m,j=1,n=7乘法设A为3×2矩阵，B为2×3矩阵C=A·B=C=Cm×p=Am×n·Bn×pcij=∑aik*bkjk=1,n8单位矩阵在一矩阵中，其主对角线各元素aii=1,其余皆为0的矩阵称为单位矩阵。n阶单位矩阵通常记作InAm×n=Am×n·In9逆矩阵若矩阵A存在A·A-1=A-1·A=I，则称A-1为A的逆矩阵矩阵的转置把矩阵A=(aij)m×n的行和列互换而得到的
7、n×m矩阵称为A的转置矩阵,记作AT。(AT)T=A(A+B)T=AT+BT(aA)T=aAT(A·B)T=BT·AT当A为n阶矩阵，且A=AT，则A是对称矩阵。105.矩阵运算的基本性质交换律与结合律A+B=B+A;A+(B+C)=(A+B)+C数乘的分配律及结合律a(A+B)=aA+aB;a(A·B)=(aA)·B=A·(aB)(a+b)A=aA+bAa(bA)=(ab)A11矩阵乘法的结合律及分配律A(B·C)=(A·B)C(A+B)·C=A·C+B·CC·(A+B)=C·A+C·B矩阵的乘法不适合交换律A·B/=B.A121.平移变换(translation)从点P[x,y]平
8、移到点P’[x’,y’]x’=x+my’=y+nP(x,y)P’(x’y’)mnXY二、二维几何变换132旋转变换αθρ(x,y)(x’,y’)一个点绕原点的旋转，逆时针方向为正。143比例变换P(x,y)P’(x’,y’)x’=x*sxy’=y*sySx=Sy：均匀缩放。Sx=Sy>1，放大Sx=Sy<1，缩小Sx不等于Sy时，沿坐标轴方向伸展和压缩YX154.对称变换关于X轴的对称变换P(x,y)对称点为P’(x,-y)关于Y轴的对称变换P(x,y)对称点为P’(-x,y)关于坐标原点的对称变换P(x,y)关于原点的对称点为P’(-x,-y)161.齐次坐标齐次坐标就是一个n维矢量
9、的(n+1)维矢量表示。例如：二维坐标点P(x,y)的齐次坐标为：(h*x,h*y,h)。二维坐标与齐次坐标是一对多的关系。通常都采用规范化的齐次坐标，即取h=1。(x,y)的规范化齐次坐标为(x,y,1)。变换的矩阵表示17齐次坐标的作用：1.将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间上的一个点从一个坐标系变换到另一坐标系的有效方法。2.便于表示无穷远点。18二维几何变换的矩阵表示191.恒等变换2.比例变换203.对称变换关于X轴的对称变换关于Y轴的对称变换21关于坐标原点的对称变换习题：请写出二维错切变换的变换矩阵。225.旋转变换其矩阵表示为：α
10、θρ(x,y)(x’,y’)236.平移变换P(x,y)P’(x’y’)mnXY24(m,n)(x,y)θ(x’,y’)(x1,y1)θ(x2,y2)mn123(x’,y’)7.绕任一点的旋转变换假定该任一点为P(m,n),旋转角为θ25T1T2T326T=T1T2T3称为矩阵级联，也称复合变换。27几何变换的几点说明：（1）平移变换只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状。（2）旋转变换仍保持图形各部分间的线性关系和角度关系，直线长度不变。（
