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1、第一章分析基础函数极限连续—研究对象—研究方法—研究桥梁函数与极限第一章1.1.4反函数与复合函数1.1.3函数的几种特性1.1.1区间和邻域第1节机动目录上页下页返回结束1.1函数1.1.2函数的概念1.1.5初等函数1.1.1区间和邻域机动目录上页下页返回结束开区间：设和都是实数，且则数集称为开区间，记为即和称为开区间的端点。闭区间：数集称为闭区间，即类似地有称为半开半闭区间。无限区间点的邻域去心邻域其中,a称为邻域中心,称为邻域半径.左邻域:右邻域:定义域1.1.2函数的概念定义1.1.1.设数集则称映射为定义在D上的函数,记为f(D)称为值域函数图形:机动目录上页下页返回结束
2、自变量因变量(对应规则)(值域)(定义域)例如,反正弦主值定义域对应规律的表示方法:解析法、图象法、列表法使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.定义域值域又如,绝对值函数定义域值域机动目录上页下页返回结束例1.已知函数求及解:函数无定义并写出定义域及值域.定义域值域机动目录上页下页返回结束练习习题1.1题1：（3）、（6）1.1.3.函数的几种特性设函数且有区间(1)有界性使称使称说明:还可定义有上界、有下界、无界(2)单调性为有界函数.在I上有界.使若对任意正数M,均存在则称f(x)无界.称为有上界称为有下界当时,称为I上的称为I上的单调增函数;单调减函数.机动目录上页下页返回结束(3)奇
3、偶性且有若则称f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.说明:若在x=0有定义,为奇函数时,则当必有例如,偶函数双曲余弦记机动目录上页下页返回结束又如,奇函数双曲正弦记再如,奇函数双曲正切记机动目录上页下页返回结束练习1.1题5.(4)周期性且则称为周期函数,若称l为周期(一般指最小正周期).周期为周期为注:周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数狄里克雷函数x为有理数x为无理数机动目录上页下页返回结束1.1.4.反函数与复合函数(1)反函数的概念及性质若函数为单射,则存在逆映射习惯上,的反函数记成称此映射为f的反函数.机动目录上页下页返回结束其反函数(减)(减).1)y＝f(x)单调递
4、增且也单调递增性质:2)函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.机动目录上页下页返回结束指数函数(2)复合函数则设有函数链称为由①,②确定的复合函数,①机动目录上页下页返回结束—复合映射的特例②u称为中间变量.注意:构成复合函数的条件不可少.例如,函数链:函数但函数链不能构成复合函数.可定义复合机动目录上页下页返回结束两个以上函数也可构成复合函数.例如,可定义复合函数:1.1.5.初等函数(1)基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2)初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数.例如,并可用一个式子表示的函数,
5、经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.可表为故为初等函数.又如,双曲函数与反双曲函数也是初等函数.(自学,P7)机动目录上页下页返回结束非初等函数举例:符号函数当x>0当x=0当x<0取整函数当机动目录上页下页返回结束例2.求的反函数及其定义域.解:当时,则当时,则当时,则反函数定义域为机动目录上页下页返回结束内容小结1.集合及映射的概念定义域对应规律3.函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性4.初等函数的结构作业习题1.1P71(2),(5);P83;7(4);82.函数的定义及函数的二要素第二节目录上页下页返回结束
