6.5三角形内角和定理的证明

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1、第六章北师大版八年级下册012345012345678910012345678910012345678012345012345三角形内角和定理的证明第五节胜者的“钥匙”证明命题的一般步骤:(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);回顾与思考☞(2)根据题意,画出图形;(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;(4)分析题意,探索证明思路;(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;(6)检查表达过程是否正确,完善.实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图1），然后把另处两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点

2、相嵌合（图2）、（图3），最后得到（图4）所示的结果。ACB图1BAC图2BAC图3BAC图4实验2：将纸片三角形顶角剪下，随意将它们拼凑在一起。一、复习“三角形内角和定理”我们已经知道：ABC三角形的三个内角之和等于180゜即：在△ABC中，有∠A+∠B+∠C=180゜三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°已知：如图，△ABC.求证：∠Ａ+∠Ｂ+∠Ｃ＝180°证明：ABC12DE请你先走出“前两步”你会验证这个定理吗？你会把验证的方法用尺规作图作出来吗？你会证明了吗？三角形内角和定理：三角形的三个内角之和等于180゜已知：△ABC求证：∠A+∠B+∠C=180゜分

3、析：可延长BC到D，过点C作射线CE∥BA，得∠1、∠2，由于CE∥BA，可得∠A＝∠1，∠B＝∠2，这样就相当于把∠A移到了∠1的位置，∠B移到了∠2的位置。三、证明“三角形内角和定理”E12BACD1E12BACDABC12DE∠1＝∠Ａ(两直线平行，内错角相等)∠2＝∠Ｂ(两直线平行，同位角相等)∵∠1+∠2+∠ＡＣＢ＝180°(一平角＝180°)∴∠Ａ+∠Ｂ+∠ＡＣＢ＝180°(等量代换)证明:作BC的延长线CD，过点C作射线CE//AB，则辅助线（虚线）需要作辅助线时先作辅助线，所做的辅助线当已知条件看待；辅助线的作用主要是移动图形，使条件和结论产生联系.BACDE

4、12小颖考虑拼接时,把∠A移到∠1的位置,那么作辅助线时可以过C点作∠1=∠A吗?两种证明有什么不同吗?证法1：延长BC到D，过点C作射线CE∥AB，∵CE∥AB∴∠1＝∠A(两直线平行，内错角相等)∠2＝∠B（两直线平行，同位角相等)又∵∠ACB+∠1+∠2=180゜∴∠A+∠B+∠ACB=180゜证法2:延长BC到D,以C为顶点,CA为边在△ABC的外侧作∠1=∠A,∵∠1=∠A,∴CE∥AB∴∠2＝∠B∵∠ACB+∠1+∠2=180゜∴∠A+∠B+∠ACB=180゜小颖的证明:BACDE12议一议：在证明三角形内角和定理时，小明的想法也是把三个角“凑”到C处，他过点C作

5、直线PQ∥AB。他的想法可行吗？。pQBACD12EpQBAC证法3：过点C作PQ∥AB，∵PQ∥AB（已作）∴∠2＝∠B,∠1＝∠A（两直线平行，内错角相等)又∵∠1+∠2+∠BCA=180゜（平角定义）∴∠A+∠B+∠ACB=180゜（等量代换）小明的证法12小亮在仔细研究了小明的作法后发现,辅助线还可以更简单一些,他认为只要作CQ∥AB构造一组同旁内角就可以了.他的想法有道理吗?BACpQQBAC证法4:过C点作CQ∥AB则∠1=∠A(两直线平行,内错角相等)∠BCQ+∠B=1800(两直线平行,同旁内角互补)即∠BCA+∠1+∠B=1800∴∠A+∠B+∠ACB=18

6、00小亮的证法1关于辅助线：辅助线是为了证明需要在原图上添画的线.（辅助线通常画成虚线）它的作用是把分散的条件集中，把隐含的条件显现出来，起到牵线搭桥的作用.添加辅助线，可构造新图形，形成新关系，找到联系已知与未知的桥梁，把问题转化，但辅助线的添法没有一定的规律，要根据需要而定,平时做题时要注意总结.三角形内角和定理三角形内角和定理三角形三个内角的和等于1800.△ABC中,∠A+∠B+∠C=1800.∠A+∠B+∠C=1800的几种变形:∠A=1800–(∠B+∠C).∠B=1800–(∠A+∠C).∠C=1800–(∠A+∠B).∠A+∠B=1800-∠C.∠B+∠C=1

7、800-∠A.∠A+∠C=1800-∠B.这里的结论,以后可以直接运用.三种语言☞ABC五、实战场ABCBCA1、直角三角形的两锐角之和是多少度?等边三角形的一个内角是多少度?请证明你的结论.结论:①直角三角形的两个锐角互余；②等边三角形每个内角60°2.如图:已知在△ABC中，DE∥BC,∠A=600,∠C=700.求证：∠ADE=500DCBAE3.回答下列问题三角形的三个内角中最多有几个钝角?三角形的三个内角中最多有几个直角?三角形的三个内角中最多有几个锐角?三角形的三个内角中最少有几个锐角?例如