《根轨迹法》PPT课件

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1、第五章根轨迹法5.1根轨迹法的基本概念根轨迹定义：以系统中某一参数（通常为开环增益K）为变量，当变量由0变化到无穷时，在S复平面上描绘的系统闭环特征方程根的分布曲线。根轨迹分析法的特点：利用系统开环传递函数的零、极点信息，依据一些简单规则，绘制闭环系统的根轨迹图（闭环极点分布图），间接研究闭环系统的性质。它可避免求解闭环系统特征方程根的复杂运算，是求解闭环系统特征方程根的一种简便图解法。基于根轨迹法的系统设计思想：闭环系统特征方程根的分布可决定系统的稳定性、静态和动态性能，是综合体现系统设计的性能指标

2、。工程设计中通常是提出希望的闭环系统极点（特征根）分布指标要求，通过根轨迹图，确定满足指标要求的系统参数，完成控制系统的设计。基于根轨迹的设计方法是控制系统设计的一种有效简便的图解方法。-0.5-10jsK=0K=0K=0.25闭环特征方程：说明：该图为闭环特征方程关于开环增益参数K（0，∞）的根轨迹图。一个K值对应根轨迹上一组根，箭头表示K增大时闭环极点（特征根）移动的方向。由根轨迹图可直观分析系统稳定性和动态性能：K取任何值，闭环极点总分布于左半平面，系统稳定；给定K值可确定闭极点位置（特性）。本

3、例是通过计算特征根描绘根轨迹的，一般复杂系统根轨迹绘制不采用复杂的计算法，是依据一定简单规则绘制的，例如根轨迹起点于开环极点等。Ks(s+1)K:0~∞S2+s+K=0特征根：s1,2=－1/2±1/2√1－4kK=0时，s1=0,s2=－10＜K＜0.25时，有两个负实根；K=0.1时，s1=－0.113,s2=－0.887K=0.25时，s1=s2=－0.50.25＜K＜∞时，s1，2=－0.5±0.5j√4K－1根轨迹概念举例分析5.2.1模条件与角条件1、根轨迹应满足的基本条件设系统开环传递函

4、数一般形式为：G0(S)=KN(S)/D(s)闭环特征方程为：G0(S)+1=0，或G0(S)=-1当s取某一复数值时，方程左端是一个复数，可用极坐标摸角形式表示为：G0(S)=│G0(S)│ejargG(s)=│-1│ejarctg(0/-1=0)依据方程两端摸角相等，可得到特征根应满足的摸角特征方程表达式：摸值│G0(S)│=K│N(s)/D(S)│=1（摸值条件）相角argG0(S)=(2k+1)π，k=0,±1,±2,…（相角条件）这就是特征根s*应满足的摸角条件。对应K:0~∞的取值，在s平

5、面上满足摸角条件的特征根轨迹，称为关于增益参数K的根轨迹-简称根轨迹。摸角条件也称为关于增益参数K的根轨迹方程。根轨迹上所有点都应满足摸角条件，反之，凡是满足摸角条件的点s都属于根轨迹。5.2根轨迹的基本特性及绘制规则mn--(i=1j=11+K*=0∏∏(sszipj))pi开环极点“×”,也是常数！开环零点“○”,是常数！Zj根轨迹增益K*，不是定数，从0~∞变化这种以参数增益K*为参变量的特征方程就是根轨迹方程s是什么？请问；闭环特征方程为：1+G0=0，即：2、摸角条件更具体的形式设系统开环传

6、递函数用零极点表示为：G0(S)=K*N(S)/D(s)=K*(s-Z1)…(s-Zm)/(s-p1)…(s-pn)根轨迹的模值条件与相角条件j=1mn1+K*=0∏∏((ss--zjpi))i=1j=1mnK*=1∏∏︱ss--zjpi︱︱︱i=1-1K*=mnj=1∏︱s-zj︱∏s-pi︱︱i=1∑arg(s-zj)－∑arg(s-pi)=(2k+1)π,k=0,±1,±2,…j=1i=1mn相角条件:模值条件:K*=mnj=1∏︱s-zj︱∏s-pi︱︱i=14、基于模条件与角条件可得到如下的

7、根轨迹性质：1、系统闭环特征根s*的根轨迹与开环传递函数G0(S)的零点Zj和极点pj的分布有关，即由开环传递函数G0(S)的零极点分布状况可确定系统闭环特征根s*的分布。2、角条件与开环增益参数K*无关。说明所有满足角条件方程的根s*一定位于根轨迹上，角相条件是绘制根轨迹的充分必要条件。3、任意特征根s*对应的K值，可根据摸值条件来确定。3、模角条件的几何意义角条件：各开环零点Zj指向轨迹点s方向角总和-各开环极点pj指向轨迹点s方向角总和=（2k+1)π（指向正左方)，s属于根轨迹。摸条件：各开环

8、极点pj指向轨迹点s的矢量长度的乘积，除以各开环零点Zj指向轨迹点s的矢量长度的乘积，所得的商就是点s对应的根轨迹增益系数K的值。规则1根轨迹的对称性（坐标位置规则）-关于实轴对称。因为特征根s*只能是两种类型：实数根（位于实轴上）或一对共轭复数根（实部相同，虚部关于实轴对称），[只绘制一半轨迹即可]5.2.2绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹有2种方法：描点法和基于规则的简便近似法。描点法：根据参数变量K的不同取值，解析求解根轨迹方程的解或试探确定满足根轨